「网络流 24 题」最长 k 可重区间集

题目描述

给定实直线 L
LL 上 n
nn 个开区间组成的集合 I
II，和一个正整数 k
kk，试设计一个算法，
从开区间集合 I
II 中选取出开区间集合 S⊆I
S \subseteq IS⊆I，使得在实直线 L
LL 的任何一点 x
xx，

S SS 中包含点 x
xx 的开区间个数不超过 k
kk。且 ∑z∈S∣z∣
\sum\limits_{z \in S} | z |​z∈S​∑​​∣z∣ 达到最大。
这样的集合 S
SS 称为开区间集合 I
II 的最长 k
kk 可重区间集。

∑z∈S∣z∣ \sum\limits_{z
\in S} | z |​z∈S​∑​​∣z∣ 称为最长 k
kk 可重区间集的长度。
对于给定的开区间集合 I
II 和正整数 k
kk，
计算开区间集合 I
II 的最长 k
kk 可重区间集的长度。

输入格式

文件的第 1
11 行有 2
22 个正整数 n
nn 和 k
kk，分别表示开区间的个数和开区间的可重迭数。

接下来的 n nn 行，每行有 2
22 个整数 li
l_il​i​​ 和 ri
r_ir​i​​，表示开区间的左右端点坐标，
注意可能有 li>ri
l_i > r_il​i​​>r​i​​，此时请将其交换。

输出格式

输出最长 k
kk 可重区间集的长度。

样例

样例输入

4 2
1 7
6 8
7 10
9 13

样例输出

15

数据范围与提示

1≤n≤500,1≤k≤3
1 \leq n \leq 500, 1 \leq k \leq 31≤n≤500,1≤k≤3

我们把每个区间的端点作为网络流图中的顶点，那么每个区间的长度便是端点
所建边的费用，容量为1。
建图：
1：端点离散化。
2：源点连点1，容量为k费用为0。
3：最后一个点连汇点，容量为k费用为0。
4：第i个点连第i+1个点，容量为INF费用为0,。
5：连接每个区间的端点，容量为1，费用为长度。
求最小费用最大流。
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
#define swap(a,b){int c;c=a,a=b,b=c;}
const int maxm = 1000005;
const int INF = 1e9 + 7;
struct node
{
int u, v, flow, cost, next;
}edge[maxm];
int dis[maxm], head[maxm], cur[maxm], pre[maxm];
int f[maxm], map[maxm], l[maxm], r[maxm], a[maxm];
int s, t, n, m, cnt;
void init()
{
cnt = 0, s = 0, t = m + 1;
memset(head, -1, sizeof(head));
}
void add(int u, int v, int w, int cost)
{
edge[cnt].u = u, edge[cnt].v = v;
edge[cnt].flow = w, edge[cnt].cost = cost;
edge[cnt].next = head[u], head[u] = cnt++;
edge[cnt].u = v, edge[cnt].v = u;
edge[cnt].flow = 0, edge[cnt].cost = -cost;
edge[cnt].next = head[v], head[v] = cnt++;
}
int bfs()
{
queue<int>q;
for (int i = 0;i <= 1000001;i++) dis[i] = INF;
memset(pre, -1, sizeof(pre));
dis[s] = 0;
q.push(s);
int rev = 0;
while (!q.empty())
{
int u = q.front();q.pop();
for (int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].v;
if (dis[v] > dis[u] + edge[i].cost&&edge[i].flow)
{
dis[v] = dis[u] + edge[i].cost;
pre[v] = i;
q.push(v);
}
}
}
if (dis[t] == INF) return 0;
return 1;
}
int MCMF()
{
int minflow, ans = 0;
while (bfs())
{
minflow = INF;
for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u])
minflow = min(minflow, edge[i].flow);
for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u])
{
edge[i].flow -= minflow;
edge[i ^ 1].flow += minflow;
}
ans += minflow*dis[t];
}
return ans;
}
int main()
{
int i, j, k, sum, id = 0;
scanf("%d%d", &n, &k);
for (i = 1;i <= n;i++)
{
scanf("%d%d", &l[i], &r[i]);
if (l[i] > r[i]) swap(l[i], r[i]);
f[++id] = l[i], f[++id] = r[i];
}
sort(f + 1, f + 1 + id);
m = 0;a[++m] = m;map[f[1]] = m;
for (i = 2;i <= id;i++)
{
if (f[i] != f[i - 1]) a[++m] = m;
map[f[i]] = m;
}
init();
add(s, 1, k, 0);
add(m, t, k, 0);
for (i = 1;i < m;i++)
add(i, i + 1, INF, 0);
for (i = 1;i <= n;i++)
add(map[l[i]], map[r[i]], 1, -(r[i] - l[i]));
printf("%d\n", -MCMF());
return 0;
}