【HDU1695】 GCD （欧拉筛+欧拉函数+质因数分解+容斥原理）

这道题是一道莫比乌斯函数的入门题，但是也可以用容斥原理求解，这道题帮我好好复习了数论中关于素数的知识。

题意：给定两个区间求两个区间中的数构成的数对，有多少对满足gcd(a, b) = k

分析：第一步是转化，gcd(a, b) = k，即等价于gcd(a/k, b/k) = 1， 将[1, b] 变成[1, b / k ], [1, d] 变成[1, d / k ]，然后就是找两个区间互质的数对

假设两个数组[1, a]  [1, b]， 不妨设a <= b ，这个问题可以分成两种情况讨论：

第一种情况是当B数组所取的值是小于等于a时，这样就是求每一个数的欧拉函数（即[1, n - 1 ]中与n互质的数的个数），然后求和即可

第二种情况是当B数组所取的值是小于等于a时，就是求[1, n]中与 x互质的元素个数，x > n, 反向思维可以先求出与x不互质的元素个数，然后用总数去减就可以了，因为 X 肯定可以表示成素数相乘的形式，即 X = p1 * p2 *...， 那与x不互质的元素个数 = n / p1 + n / p2 + ... - n / p1 * p2， 利用容斥原理可以求解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <bitset>

using namespace std;

const int SIZE = 100005;
typedef long long ll;
int prime[SIZE],primesize,phi[SIZE];
bool isprime[SIZE];
ll pre[SIZE];

void getlist(int listsize)
{
memset(isprime,1,sizeof(isprime));
phi[1] = 1;
isprime[1]=false;
for(int i=2;i<=listsize;i++)
{
if(isprime[i])
{
prime[++primesize]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++)
{
isprime[i*prime[j]]=false;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
return;
}

int factor[100];
int getFactors(int x)
{
int fatCnt = 0;
int tmp = x;
for(int i = 1; prime[i] <= tmp/prime[i];i++)
{
if(tmp%prime[i] == 0)
{
factor[fatCnt] = prime[i];
while(tmp%prime[i] == 0)
{
tmp /= prime[i];
}
fatCnt++;
}
}
if(tmp != 1)
{
factor[fatCnt++] = tmp;
}
return fatCnt;
}

int solve(int x, int n)
{
int ans = 0;
int m = getFactors(x);
for(int i = 1; i < (1 << m); ++i)
{
int cnt = 0;
int pro = 1;
for(int j = 0; j < m; ++j)
{
if( (i >> j) & 1)
{
cnt += 1;
pro *= factor[j];
}
}
if(cnt & 1) ans += n / pro;
else ans -= n / pro;
}
return n - ans;
}

int main()
{
getlist(100000);
pre[0] = 0LL;
for(int i = 1; i <= 100000; ++i)
pre[i] = pre[i - 1] + phi[i];

int a, b, c, d, k;
int CASE;
scanf("%d", &CASE);
for(int cas = 1; cas <= CASE; ++cas)
{
scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);
if(k == 0)
{
printf("Case %d: 0\n", cas);
continue;
}
b /= k;
d /= k;
if(b > d) swap(b, d);
ll ans = pre[b];
for(int i = b + 1; i <= d; ++i)
ans += (long long)solve(i, b);
printf("Case %d: %lld\n", cas, ans);
}
return 0;
}

参考资料：http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html
http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3269182.html