「网络流 24 题」数字梯形

题目描述

给定一个由 n
nn 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有 m
mm 个数字。
从梯形的顶部的 m
mm 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。
分别遵守以下规则：
从梯形的顶至底的 m
mm 条路径互不相交；
从梯形的顶至底的 m
mm 条路径仅在数字结点处相交；
从梯形的顶至底的 m
mm 条路径允许在数字结点相交或边相交。

输入格式

第 1
11 行中有 2
22 个正整数 m
mm 和 n
nn，分别表示数字梯形的第一行有 m
mm 个数字，共有 n
nn 行。
接下来的 n
nn 行是数字梯形中各行的数字。

第 1 11 行有 m
mm 个数字，第 2
22 行有 m+1
m + 1m+1 个数字
……

输出格式

将按照规则 1，规则 2，和规则 3 计算出的最大数字总和并输出，每行一个最大总和。

样例

样例输入

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

样例输出

66
75
77

数据范围与提示

1≤m,n≤20
1 \leq m, n \leq 201≤m,n≤20

根据题目描述建图：
第一问：
将每个点拆成出点和入点，入点和出点连边容量为1，保证每个点不重复，每个出点和左下角点以及右下角点连一容量为1
费用为目标点权值的边，保证了边不重复。源点与第一行所有点的入点连一条容量为1费用为目标点权值的边。为保证有且
只有m条路径，我的方法先让最后一行每个点与汇点1建边，容量为1费用为0，再让汇点1和最终汇点建一容量为m费用为0的边。
这样可以保证最终会产生m条路径。
第二问：
与第一问类似，但是允许重复利用同一节点，那么只要把每个节点的入点和出点之间的边的容量修改为INF就好了，其他同上。
第三问：
在第二问的基础上，把不同点之间所连边的容量改为INF即可。
三次询问分别求出最小费用最大流。
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxm = 10005;
const int maxn = 100005;
const int INF = 1e9 + 7;
struct node
{
int u, v, flow, cost, next;
}edge[maxn];
int dis[maxm], head[maxm], cur[maxm], pre[maxn], f[1005][1005], map[1005][1005];
int s, t, n, m, cnt;
void init()
{
cnt = 0, s = 0, t = 10000;
memset(head, -1, sizeof(head));
}
void add(int u, int v, int w, int cost)
{
edge[cnt].u = u, edge[cnt].v = v;
edge[cnt].flow = w, edge[cnt].cost = cost;
edge[cnt].next = head[u], head[u] = cnt++;
edge[cnt].u = v, edge[cnt].v = u;
edge[cnt].flow = 0, edge[cnt].cost = -cost;
edge[cnt].next = head[v], head[v] = cnt++;
}
int bfs()
{
queue<int>q;
for (int i = 0;i <= 10004;i++) dis[i] = INF;
memset(pre, -1, sizeof(pre));
dis[s] = 0;
q.push(s);
int rev = 0;
while (!q.empty())
{
int u = q.front();q.pop();
for (int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].v;
if (dis[v] > dis[u] + edge[i].cost&&edge[i].flow)
{
dis[v] = dis[u] + edge[i].cost;
pre[v] = i;
q.push(v);
}
}
}
if (dis[t] == INF) return 0;
return 1;
}
int MCMF()
{
int minflow, ans = 0;
while (bfs())
{
minflow = INF;
for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u])
minflow = min(minflow, edge[i].flow);
for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u])
{
edge[i].flow -= minflow;
edge[i ^ 1].flow += minflow;
}
ans += minflow*dis[t];
}
return ans;
}
int main()
{
int i, j, k, sum, id = 0;
scanf("%d%d", &m, &n);
init();
for (i = 1;i <= n;i++)
{
for (j = 1;j <= m + i - 1;j++)
{
scanf("%d", &f[i][j]);
map[i][j] = ++id;
}
}
for (i = 1;i <= n;i++)
{
for (j = 1;j <= m + i - 1;j++)
{
if (i == 1) add(s, map[i][j], 1, -f[i][j]);
if (i == n) add(map[i][j] + id, id * 2 + 1, 1, 0);
add(map[i][j], map[i][j] + id, 1, 0);
if (i < n)
{
add(map[i][j] + id, map[i + 1][j], 1, -f[i + 1][j]);
add(map[i][j] + id, map[i + 1][j + 1], 1, -f[i + 1][j + 1]);
}
}
}
add(id * 2 + 1, t, m, 0);
printf("%d\n", -MCMF());
init();
for (i = 1;i <= n;i++)
{
for (j = 1;j <= m + i - 1;j++)
{
if (i == 1) add(s, map[i][j], 1, -f[i][j]);
if (i == n) add(map[i][j] + id, id * 2 + 1, INF, 0);
add(map[i][j], map[i][j] + id, INF, 0);
if (i < n)
{
add(map[i][j] + id, map[i + 1][j], 1, -f[i + 1][j]);
add(map[i][j] + id, map[i + 1][j + 1], 1, -f[i + 1][j + 1]);
}
}
}
add(id * 2 + 1, t, m, 0);
printf("%d\n", -MCMF());
init();
for (i = 1;i <= n;i++)
{
for (j = 1;j <= m + i - 1;j++)
{
if (i == 1) add(s, map[i][j], 1, -f[i][j]);
if (i == n) add(map[i][j] + id, id * 2 + 1, INF, 0);
add(map[i][j], map[i][j] + id, INF, 0);
if (i < n)
{
add(map[i][j] + id, map[i + 1][j], INF, -f[i + 1][j]);
add(map[i][j] + id, map[i + 1][j + 1], INF, -f[i + 1][j + 1]);
}
}
}
add(id * 2 + 1, t, m, 0);
printf("%d\n", -MCMF());
return 0;
}