Cordic算法简介

作者：桂。

时间：2017-08-14 19:22:26

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/7359940.html

前言


[b]一、CORDIC算法[/b]

　　CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer) 算法由Volder于1959年提出，该算法利用移位和加减运算，实现常用三角函数计算。

　　A-二分查找

　　现在给定一坐标点（X = 100,Y = 200）可知theta = 63.435°。



这里只讨论第一象限，当四个象限同时讨论时，只需要根据x,y的符号位给定一个标志位，对theta进行补偿即可。CORDIC的核心思想：将（X,Y）旋转一定的角度，当纵坐标为0时，旋转的角度就是theta。顺时针旋转theta后的坐标为（x',y'）：



如何旋转呢，可以借鉴二分查找法的思想。我们知道θ的范围是0到90度。那么就先旋转45度试试。这里为什么选择45°呢？个人的理解：

tan(x/y) = 90° - tan(y/x)

可见45°是一个分界线。



旋转之后纵坐标为70.71，还是大于0，说明旋转的度数不够，接着再旋转22.5度（45度二分）



这时总共旋转了45+22.5=67.5度。结果纵坐标变为了负数，说明θ<67.5度，这时就要往回转，还是二分查找法的思想，这次转-11.25度（回转为负角度）。



依次类推，直到迭代的结果满足要求为止。什么时候满足要求呢？这个需要根据项目要求的精度确定，例如误差＜0.5°，即45°/2(n-1)＜0.5°，二分次数n最小取8。可见只需要存取8个特定角度的正弦+8个特定角度的余弦，便可以实现角度的估计，这少量的数值可以提前写入存储器，运行时直接调用。

　　B-角度运算的初步改进

从旋转矩阵可以看出，每二分查找一次，就需要4次乘法运算。为了减小运算量，对旋转矩阵进一步处理：



求解相位时，cos(theta)只影响x,y的比例关系，而比例并不影响theta的取值，因此可以忽略：



这样便将每次二分的4次乘法运算缩减为2次。

　　C-角度运算的进一步改进

　　注意到第一次循环时，tan(45)=1，所以第一次循环实际上是不需要乘法运算的。第二次运算tan(22.5)=0.4142135623731,是个很不整的小数，如果参与乘法的小数比较有规律/比较整，则乘法运算会简化一些，因此这里转化思路：不再严格的二分区间查找，而是非均匀分割角度区间，使得tan（theta）尽可能整→这样一来，乘法不再需要乘法器，而是移位便可以实现。

tan(45)= 1
tan(26.565051177078)= 1/2
tan(14.0362434679265)= 1/4
tan(7.1250163489018)= 1/8
tan(3.57633437499735)= 1/16
tan(1.78991060824607)= 1/32
tan(0.8951737102111)= 1/64
tan(0.4476141708606)= 1/128
tan(0.2238105003685)= 1/256
...

　　MATLAB仿真（迭代次数由项目指标给定的精度确定）：

function theta = cordic(x,y)
%仅以第一象限为例
angle = atand(2.^([0:-1:-15]));
len = length(angle);
theta = 0;
for i = 0:len-1
if (y>0)
x_new = x+y*2^-i;%此处移位寄存器实现
y_new = y-x*2^-i;%此处移位寄存器实现
x = x_new;
y = y_new;
theta = theta+angle(i+1);
else
x_new = x-y*2^-i;%此处移位寄存器实现
y_new = y+x*2^-i;%此处移位寄存器实现
x = x_new;
y = y_new;
theta = theta-angle(i+1);
end
end

　　至此便完成了CORDIC的整体思路。其他函数可仿照该思路类推。

CORDIC求解幅值的思路：



可近似处理：



具体参考：《Design of Jacobi EVD processor based on CORDIC for DOA estimation with MUSIC algorithm》

[b]二、求解三角思路延伸[/b]

　　以arctan为例，迭代次数随着theta精度的增加而增加，迭代次数过多会导致时间延迟过大，因此可以考虑函数逼近的思路。常用的有泰勒逼近和切比雪夫逼近。

因为tan(45°) = 1，且tan(x/y) = 90°-tan(y/x)，因此arctan(x)只需要讨论x属于[0,1]的情况，这一点[b]刚好满足切比雪夫近似[/b]。

　　A-泰勒逼近

即高等数学里的泰勒展开：



对应的指令：

syms x
y = atan(x);
p50=taylor(y,'Order',3,'ExpansionPoint',0.5);

　　Order：指定阶数，expansionpoint：指定展开的位置。

求解：

double(subs(p50,x,i))；%i为指定位置的数值

　　B-切比雪夫逼近

切比雪夫多项式可表示为：



设

，可以求得以下递推关系：



函数f(x)可以近似表达为傅里叶级数：



其中：



这就完成了切比雪夫近似的思想。

给出代码实现：

function f = Chebyshev(y,k,x0)
%用切比雪夫多项式逼近已知函数
%已知函数：y（类型：表达式）
%逼近已知函数所需项数：k
%逼近点的x坐标：x0
%求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：f

syms t;
T(1:k+1) = t;
T(1) = 1;
T(2) = t;
c(1:k+1) = 0.0;

c(1)=quad(matlabFunction(y(t)*T(1)/sqrt(1-t^2)),-1,1)/pi;
c(2)=2*quad(matlabFunction(y(t)*T(2)/sqrt(1-t^2)),-1,1)/pi;
f = c(1)+c(2)*t;

for i=3:k+1
T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i) = 2*quad(matlabFunction(y(t)*T(i)/sqrt(1-t^2)),-1,1)/pi;
f = f + c(i)*T(i);
f = vpa(f,6);

if(i==k+1)
if(nargin == 3)
f = subs(f,'t',x0);
else
f = vpa(expand(f),6);
end
end
end

　　函数中vpa用来控制精度，例如：

digits(3);%控制精度
vpa(1/3);

　　结果便是0.333，而不是0.33333333...

　　调用形式：

Chebyshev(y,3,i);%i为对应横坐标

　　这里对于taylor、chebv展开，都按3阶处理（其他阶数类似），得出逼近误差：



可以看出chebv的逼近更加稳健。

[b]三、CORDIC仿真[/b]

分两个思路整理，首先是调用IP核，其次是不使用IP核。

　　A-调用IP核

直接看使用手册即可。

　　B-不使用IP核

//CORDIC implementation for sine and cosine for Final Project

//Claire Barnes

module CORDIC(clock, cosine, sine, x_start, y_start, angle);

parameter width = 16;

// Inputs
input clock;
input signed [width-1:0] x_start,y_start;
input signed [31:0] angle;

// Outputs
output signed  [width-1:0] sine, cosine;

// Generate table of atan values
wire signed [31:0] atan_table [0:30];

assign atan_table[00] = 'b00100000000000000000000000000000; // 45.000 degrees -> atan(2^0)
assign atan_table[01] = 'b00010010111001000000010100011101; // 26.565 degrees -> atan(2^-1)
assign atan_table[02] = 'b00001001111110110011100001011011; // 14.036 degrees -> atan(2^-2)
assign atan_table[03] = 'b00000101000100010001000111010100; // atan(2^-3)
assign atan_table[04] = 'b00000010100010110000110101000011;
assign atan_table[05] = 'b00000001010001011101011111100001;
assign atan_table[06] = 'b00000000101000101111011000011110;
assign atan_table[07] = 'b00000000010100010111110001010101;
assign atan_table[08] = 'b00000000001010001011111001010011;
assign atan_table[09] = 'b00000000000101000101111100101110;
assign atan_table[10] = 'b00000000000010100010111110011000;
assign atan_table[11] = 'b00000000000001010001011111001100;
assign atan_table[12] = 'b00000000000000101000101111100110;
assign atan_table[13] = 'b00000000000000010100010111110011;
assign atan_table[14] = 'b00000000000000001010001011111001;
assign atan_table[15] = 'b00000000000000000101000101111100;
assign atan_table[16] = 'b00000000000000000010100010111110;
assign atan_table[17] = 'b00000000000000000001010001011111;
assign atan_table[18] = 'b00000000000000000000101000101111;
assign atan_table[19] = 'b00000000000000000000010100010111;
assign atan_table[20] = 'b00000000000000000000001010001011;
assign atan_table[21] = 'b00000000000000000000000101000101;
assign atan_table[22] = 'b00000000000000000000000010100010;
assign atan_table[23] = 'b00000000000000000000000001010001;
assign atan_table[24] = 'b00000000000000000000000000101000;
assign atan_table[25] = 'b00000000000000000000000000010100;
assign atan_table[26] = 'b00000000000000000000000000001010;
assign atan_table[27] = 'b00000000000000000000000000000101;
assign atan_table[28] = 'b00000000000000000000000000000010;
assign atan_table[29] = 'b00000000000000000000000000000001;
assign atan_table[30] = 'b00000000000000000000000000000000;

reg signed [width:0] x [0:width-1];
reg signed [width:0] y [0:width-1];
reg signed    [31:0] z [0:width-1];

// make sure rotation angle is in -pi/2 to pi/2 range
wire [1:0] quadrant;
assign quadrant = angle[31:30];

always @(posedge clock)
begin // make sure the rotation angle is in the -pi/2 to pi/2 range
case(quadrant)
2'b00,
2'b11: // no changes needed for these quadrants
begin
x[0] <= x_start;
y[0] <= y_start;
z[0] <= angle;
end

2'b01:
begin
x[0] <= -y_start;
y[0] <= x_start;
z[0] <= {2'b00,angle[29:0]}; // subtract pi/2 for angle in this quadrant
end

2'b10:
begin
x[0] <= y_start;
y[0] <= -x_start;
z[0] <= {2'b11,angle[29:0]}; // add pi/2 to angles in this quadrant
end
endcase
end

// run through iterations
genvar i;

generate
for (i=0; i < (width-1); i=i+1)
begin: xyz
wire z_sign;
wire signed [width:0] x_shr, y_shr;

assign x_shr = x[i] >>> i; // signed shift right
assign y_shr = y[i] >>> i;

//the sign of the current rotation angle
assign z_sign = z[i][31];

always @(posedge clock)
begin
// add/subtract shifted data
x[i+1] <= z_sign ? x[i] + y_shr : x[i] - y_shr;
y[i+1] <= z_sign ? y[i] - x_shr : y[i] + x_shr;
z[i+1] <= z_sign ? z[i] + atan_table[i] : z[i] - atan_table[i];
end
end
endgenerate

// assign output
assign cosine = x[width-1];
assign sine = y[width-1];

endmodule

　　

参考：
http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/8458769