计算机常用的数制及编码

 数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。编码是采用少量的基本符号，选用一定的组合原则，以表示大量复杂多样的信息的技术。计算机是信息处理的工具，任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理、存储和传输。
1.1.1.1.1.1       二进制数二进制数的表示
我们习惯使用的十进制数是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个不同的符号组成，每一个符号处于十进制数中不同的位置时，它所代表的实际数值是不一样的。例如1999年可表示成
1×1000＋9×100＋9×10＋9×1
＝1×103＋9×102＋9×101＋9×100
式中每个数字符号的位置不同，它所代表的数值也不同，这就是经常所说的个位、十位、百位、千位……的意思。二进制数和十进制数一样，也是一种进位计数制，但它的基数是2。数中0和1的位置不同，它所代表的数值也不同。例如二进制数1101表示十进制数13。
       （1101）2 _ 1×23+1×22+0×21+1×20
                _8+4+0+1_13
一个二进制数具有下列两个基本特点：
·两个不同的数字符号，即0和1
·逢二进一
一般我们用（    ）角标表示不同进制的数。例如：十进制用（    ）10表示，二进制数用（    ）2表示。
在微机中，一般在数字的后面，用特定字母表示该数的进制。例如：
B—二进制       D-十进制（D可省略）     O-八进制      H-十六进制
1.1.1.1.1.2       二进制与其它数制在进位计数制中有数位，基数和位权三个要素。数位是指数码在一个数中所处的位置；基数是指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码的个数。例如：二进制数基数是2，每个数位上所能使用的数码为0和1二个数码。在数制中有一个规则，如是N进制数必须是逢N进1。对于多位数，处在某一位上的“1”所表示的数值的大小，称为该位的位权。例如，二进制第2位的位权为2，第3位的位权为4。一般情况下，对于N进制数，整数部分第i位的位权为Ni-1，而小数部分第j位的位权为N-j。
下面主要介绍与计算机有关的常用的几种进位计数制。
1． 十进制（十进位计数制）
具有十个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，其基数为10；十进制数的特点是逢十进一。例如：
      （1011）10 _1×103+0×102+1×101+1×100
2．   八进制（八进位计数制）
具有八个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7，其基数为8；八进制数的特点是逢八进一。例如：
      （1011）8 _1×83+0×82+1×81+1×80
                              _ （521）10
3．   十六进制（十六进位计数制）
具有十六个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，其基数为16，十六进制数的特点是逢十六进一。例如：
  （1011）16 _ 1×163+0×162+1×161+1×160
                _ （4113）10 表 1-1    四位二进制数与其它数制的对应表 

二进制 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17

十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 1.1.1.1.1.3       不同进制数之间的转换用计算机处理十进制数，必须先把它转化成二进制数才能被计算机所接受，同理，计算结果应将二进制数转换成人们习惯的十进制数。这就产生了不同进制数之间的转换问题。
1）   十进制数与二进制数之间的转换
⑴十进制整数转换成二进制整数
    一个十进制整数转换为二进制整数的方法如下：
把被转换的十进制整数反复地除以2，直到商为0，所得的余数（从末位读起）就是这个数的二进制表示。简单地说就是“除2取余法”。
例如，将十进制整数（215）10转换成二进制整数
 
 
 
 
        于是（215）10＝（11010111）2
十进制整数转换成二进制整数的方法清楚以后，那么，十进制整数转换成八进制或十六进制就很容易了。十进制整数转换成八进制整数的方法是“除8取余法”，十进制整数转换成十六进制整数的方法是“除16取余法”。
（2）二进制数转换成十进制数
把二进制数转换为十进制数的方法是：将二进制数按权展开求和即可。
例如，将（10110011.101）2 转换成十进制数。
1×27          代表十进制数128
0×26          代表十进制数0
1×25          代表十进制数32
1×24          代表十进制数16
0×23          代表十进制数0
0×22          代表十进制数0
1×21          代表十进制数2
1×20          代表十进制数1
1×2-1         代表十进制数0.5
0×2-2         代表十进制数0
1×2-3         代表十进制数0.125
于是，（10110011.101）2＝128＋32＋16＋2＋1＋0.5＋0.125＝（179.625）10。同理，非十进制数转换成十进制数的方法是，把各个非十进制数按权展开求和即可。如把二进制数（或八进制数或十六进制数）写成2（或8或16）的各次幂之和的形式，然后再计算其结果。
2） 二进制数与八进制数之间的转换
二进制数与八进制数之间的转换十分简捷方便，他们之间的对应关系是：八进制数的每一位对应二进制数的三位。
（1） 二进制数转换成八进制数
由于二进制数和八进制数之间存在特殊关系，即81_23，因此转换方法比较容易，具体转换方法是：将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左3位一组，小数部分从左向右3位一组，不足三位用0补足即可。
例如，将（10110101110.11011）2化为八进制数。
解：010     110      101      110  .  110      110
    ↓       ↓       ↓       ↓      ↓       ↓
     2        6       5       6   .  6        6
于是   （10110101110.11011）2＝（2656.66）8
（2） 八进制数转换成二进制数
方法：以小数点为界，向左或向右每一位八进制数用相应的三位二进制数取代，然后将其连在一起即可。
例如，将（6237.431）8转换为二进制数。
解：  6      2     3      7   .  4      3      1
    ↓     ↓     ↓     ↓       ↓     ↓     ↓
   110    010   011    111   . 100    011    001
于是    （6237.431）8＝（110010011111.100011001）2
3） 二进制数与十六进制数之间的转换
（1）二进制数转换成十六进制数
二进制数的每四位，刚好对应于十六进制数的一位（161_24），其转换方法是：将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左4位一组，小数部分从左向右4位一组，不足四位用0补足，每组对应一位十六进制数即可得到十六进制数。
例1：将二进制数（101001010111.110110101） 2  转换为十六进制数。
解：1010      0101      0111   .   1101      1010      1000
     ↓       ↓        ↓         ↓        ↓        ↓
      A         5         7   .     D         A         8
于是    （101001010111）2＝（A57.DA1）16
例2：将二进制数（100101101011111）2 转换为十六进制数。
解：0100      1011      0101      1111
     ↓       ↓        ↓        ↓
     4          B        5          F
于是    （100101101011111）2＝（4B5F）16
（1）     （2）        十六进制数转换成二进制数
方法：以小数点为界，向左或向右每一位十六进制数用相应的四位二进制数取代，然后将其连在一起即可。
例如，将（3AB.11）16转换成二进制数。
解：3      A        B   .   1      1
   ↓      ↓      ↓       ↓     ↓
  0011    1010   1011   .  0001  0001
于是（3AB.11）16＝（1110101011.00010001)2
1.1.1.1.1.4       二进制数在计算机内的表示计算机内表示的数，分成整数和实数两大类。在计算机内部，数据是以二进制的形式存储和运算的。数的正负用高位字节的最高位来表示，定义为符号位，用“0”表示正数，“1”表示负数。例如，二进制数+1101000在机器内的表示为：
 
[align=center]

0

1

1

0

1

0

0

0

[/align]↑符号位ASCII码计算机中，对非数值的文字和其他符号进行处理时，要对文字和符号进行数字化处理，即用二进制编码来表示文字和符号。字符编码（Character Code）是用二进制编码来表示字母、数字以及专门符号。
在计算机系统中，有两种重要的字符编码方式：ASCII和EBCDIC。EBCDIC主要用于IBM的大型主机，ASCII用于微型机与小型机。下面我们简要介绍ASCII码。
目前计算机中普遍采用的是ASCII（AmericanStandard Code for Information Interchange）码，即美国信息交换标准代码。ASCII码有7位版本和8位版本两种，国际上通用的是7位版本，7位版本的ASCII码有128个元素，只需用7个二进制位（27＝128）表示，其中控制字符32个，阿拉伯数字10个，大小写英文字母52个，各种标点符号和运算符号34个。在计算机中实际用8位表示一个字符，最高位为“0”。书后附录一列出了全部128个符号的ASCII码。例如，数字0的ASCII码为48，大写英文字母A的ASCII码为65，空格的ASCII码为32等等。有的计算机教材中的ASCII码用16进制数表示，这样，数字0的ASCII码为30H，字母A的ASCII为41H，…。
EBCDIC（扩展的二－十进制交换码）是西文字符的另一种编码，采用8位二进制表示，共有256种不同的编码，可表示256个字符，在某些计算机中也常使用。