BZOJ 3884: 上帝与集合的正确用法（欧拉函数）——有趣的题目

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3884: 上帝与集合的正确用法

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Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3

2

3

6

Sample Output

0

1

4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

解题思路：

利用一个万能公式：ab % p=ab % ϕ(p)+ϕ(p) % p

令 f(p)=2222... % p——(1)

因为是无限个 2，所以我们令 two=2222...

将 (1) 式简化为：

f(p)=two % p=2two % p=2two % ϕ(p)+ϕ(p) % p=2f(ϕ(p))+ϕ(p) % p

这样就是一个递归了，然后递归的出口为

if(p==2 || p==1) return 0;

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL oula(LL n){
LL ans = n, tmp = sqrt(n);
for(LL i=2; i<=tmp; i++){
if(n%i == 0){
ans -= ans/i;
while(n%i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1) ans -= ans/n;
return ans;
}
LL Pow(LL a, LL b, LL p){
LL ans = 1;
while(b){
if(b & 1) ans = (ans * a)%p;
b>>=1;
a = (a * a)%p;
}
return ans;
}
LL Solve(LL p){
if(p==2 || p==1) return 0;
LL tmp = oula(p);
return Pow(2, Solve(tmp)+tmp, p);
}
int main(){
int T; scanf("%d", &T);
while(T--){
LL p; scanf("%lld", &p);
LL ans = Solve(p);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}