剑指offer：圆圈中最后剩下的数字

题目：

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

思路：可以用数学的思维来分析下能不能得出公式。首先先定义一个关于n，和m的方程，在0~n-1中每次删除第m个数字最后剩的数字。

在这n个数字中第一个被删除的数字是（m-1）%n,记为k，删除k之后的剩下n-1个数字为0,1,2...k-1,k+1...n-1,并且下一次删除从数字k+1开始计数。相当于在剩下的序列中，k+1排在最前面，从而形成k+1,k+2...n-1,0,1,..k-1，该序列剩下的数字应该是关于n,m的函数。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字，即f(n,m)=f'(n-1,m).

做一个映射如下：

k+1 -> 0

k+2 -> 1

...

n-1 -> n-k-2

0 -> n-k-1

1 ->n-k

...

k-1 ->n-2

把映射定义为p,则p(x)=(x-k-1)%n。f'(n-1,m)=[f(n-1,m)+k+1%n,记k=（m-1）%n带入f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

f(n,m)=0,n=1;f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n,n>1.

代码如下：

public class Solution {

    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {

        if(n<1||m<1)

            return -1;

        int last=0;

        for(int i=2;i<=n;i++){

            last=(last+m)%i;

        }

        return last;

    }

}