（多项式）因式分解定理（Factor theorem）与多项式剩余定理（Polynomial remainder theorem）（多项式长除法）

（多项式的）因式分解定理（factor theorem）是多项式剩余定理的特殊情况，也就是余项为 0 的情形。

0. 多项式长除法（Polynomial long division）

Polynomial long division - Wikipedia

1. 因式分解定理

Factor theorem

该定理表达的是，多项式 f(x) 存在因子 x−k 当且仅当 f(k)=0（余数为 0，也即 k 是其根）。

对于多项式 f(x)=x3+7x2+8x+2，

x−1 是否为其因子？f(1)≠0

x+1 是否为其因子？f(−1)=0，故为其因子；

（多项式除法）又有 x3+7x2+8x+2x+1=x2+6x+2，因此 x+1 与 x2+6x+2 均为其因子。

2. 多项式余项定理

Polynomial remainder theorem

举例对于多项式 f(x)=x3−12x2−42，当除数为 x−3 时，商为 x2−9x−27，余项为 −123。也即，f(x)=(x−3)(x2−9x−27)−123。因此 f(3)=−123。

更为一般地，对于二次多项式 f(x)=ax2+bx+c，有如下的等式变换：

f(x)x−r=ax2+bx+cx−r=ax2−arx+arx+bx+cx−r=ax(x−r)+(b+ar)x+cx−r=ax+(b+ar)(x−r)+c+r(b+ar)x−r=ax+b+ar+c+r(b+ar)x−r=ax+b+ar+ar2+br+cx−r

所以：

f(x)=(x−r)(ax+b+ar)+ar2+br+c