基础数论入门

（一）定理和性质

一、裴蜀定理

如果 a,b∈Na,b∈N , (a,b)=d(a,b)=d 那么一定存在 x,yx,y 使得 d|(a∗x+b∗y)d|(a∗x+b∗y)

证明：非常简单，鉴于可能有数论刚入门的OIer所以这里简单证明一下：

因为(a,b)=d(a,b)=d

所以我们就可以假设 a=p∗da=p∗d , b=q∗db=q∗d

那么a∗x+b∗y=p∗d∗x+q∗d∗y=d∗(p∗x+q∗y)a∗x+b∗y=p∗d∗x+q∗d∗y=d∗(p∗x+q∗y) 得证

二、整除的性质

a|c,b|c,(a,b)=1⇒ab|ca|c,b|c,(a,b)=1⇒ab|c

a|bc,(a,b)=1⇒a|ca|bc,(a,b)=1⇒a|c

p|ab⇒p|a或p|bp|ab⇒p|a或p|b

正确性显然

三、同余

a≡b(mod m)⇐⇒m|(a−b)a≡b(mod m)⇐⇒m|(a−b)

a≡b(mod m),a≡b(mod n)⇒a≡b(mod [m,n])a≡b(mod m),a≡b(mod n)⇒a≡b(mod [m,n])

(k,m)=d,k∗a≡k∗a′(mod m)⇒a≡a′(mod md)(k,m)=d,k∗a≡k∗a′(mod m)⇒a≡a′(mod md)

第二个式子证明：

(a−b)=x∗m=y∗n=k∗[m,n](a−b)=x∗m=y∗n=k∗[m,n]

第三个式子证明：

k=q∗d,m=p∗dk=q∗d,m=p∗d

k∗a−k∗a′=c∗mk∗a−k∗a′=c∗m

a−a′=c∗mk=c∗mq∗d=cq∗mda−a′=c∗mk=c∗mq∗d=cq∗md

四、逆元

如果(b,m)=1(b,m)=1,那么存在b−1b−1 使得b∗b−1≡1(mod m)b∗b−1≡1(mod m)

P.S：这个-1次方只是表示逆元一个符号 并不是真的-1次方 但是可以把它当成-1次方在同余中进行运算

五、剩余系

任何m个分别属于m个剩余类的数组组成剩余系

六、φ

所有的n满足0＜n≤m0＜n≤m,(n,m)=1(n,m)=1 构成了一个模m的简化剩余系，简称缩系

记录这样的n的个数为φ(m)φ(m)

七、关于缩系的一个定理

如果(m,m′)=1(m,m′)=1,a取遍模m的缩系,a’取遍模m’的缩系,那么a∗m′+a′∗ma∗m′+a′∗m 取遍模m∗m′m∗m′的缩系

证明自己yy一下好啦

八、欧拉定理

如果(a,m)=1(a,m)=1,那么aφ(m)≡1(mod m)aφ(m)≡1(mod m)

证明：

当x取遍模m的缩系时,ax也取遍模m的缩系（这个自己yy一下，具体证明不太会说qwq）

所以我们可以得出∏x≡∏a∗x(mod m)∏x≡∏a∗x(mod m)

∏a∗x≡aφ(m)∏x∏a∗x≡aφ(m)∏x

用处：如果(a,m)=1(a,m)=1,abmod mabmod m可以转化成 ab mod φ(m)mod mab mod φ(m)mod m

如果(a,m)≠1(a,m)≠1,ab≡amin(b mod φ(m)+φ(m),b) mod mab≡amin(b mod φ(m)+φ(m),b) mod m

九、拉格朗日定理

对于一个次数为n的多项式F(x),F(x)≡0(mod p)F(x)≡0(mod p)至多min(n,p)min(n,p)个解。

十、二次剩余

对于一个奇素数p,如果存在x使得x2≡a(mod p)x2≡a(mod p),那么称a为p的二次剩余。

如果ap−12≡1(mod p)ap−12≡1(mod p),那么a为p的二次剩余。

如果ap−12≡−1(mod p)ap−12≡−1(mod p),那么a为p的二次非剩余。

十一、威尔逊定理

(p−1)!≡−1(mod p)(p−1)!≡−1(mod p)

证明：2到p-2这些数都存在逆元，可以两两匹配

十二、阶

如果(a,m)=1(a,m)=1 那么记x为最小的正整数使得ax≡1(mod m)ax≡1(mod m)

结论：x|φ(m)x|φ(m)

证明：反证法，设有一个最小的x , )=q∗x+r" role="presentation">φ(m)=q∗x+rφ(m)=q∗x+r ,

则 aq∗x+r≡1(mod m)aq∗x+r≡1(mod m)

ax≡1(mod m)ax≡1(mod m) 推出 ar≡1(mod m)ar≡1(mod m)

因为x是最小的满足条件的正整数 ,r<xr<x ,所以r=0r=0

十三、原根

如果g(mod m)g(mod m) 的阶为φ(m)φ(m) 那么g为m的原根

g0,g1,…,gφ(m)−1g0,g1,…,gφ(m)−1 构成了模m的缩系。

只有1,2,4,pa,2pa1,2,4,pa,2pa存在原根。

十四、其他

φ(p∗e)=(p−1)∗p∗e−1φ(p∗e)=(p−1)∗p∗e−1

φ(m)=m∗∏p|m(1−1/p)φ(m)=m∗∏p|m(1−1/p)(容斥原理求φ)

（二）算法

一、辗转相除法

直接贴代码吧，证明网上有详解，这里不再赘述

int gcd(int a,int b)
{
if (b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}

二、扩展欧几里得算法

用处：求解形如a∗x+b∗y=gcd(a,b)a∗x+b∗y=gcd(a,b)的二元方程和线性同余方程

(a∗x≡b(mod m)a∗x≡b(mod m) 等价于 a∗x+m∗y=ba∗x+m∗y=b)

推导：假设解出一组解(p,q)(p,q)

p∗a+q∗b=gcd(a,b)p∗a+q∗b=gcd(a,b)

= gcd(b,a mod b)=p∗b+q∗(a mod b)=p∗b+q∗(a−(ab)∗b)gcd(b,a mod b)=p∗b+q∗(a mod b)=p∗b+q∗(a−(ab)∗b)

= p∗b+q∗a−q∗(ab)∗b=(p−q∗(ab))∗b+q∗ap∗b+q∗a−q∗(ab)∗b=(p−q∗(ab))∗b+q∗a

代码

int extended_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int ret,tmp;
if (!b)
{
x=1;y=0;return a;
}
ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);
tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return ret;
}

一个神奇的小结论：

对方程a∗x+b∗y=ca∗x+b∗y=c，一组整数解为 (x0,y0)(x0,y0) ，

则它的任意整数解可以写成 (x0+k∗b′,y0−k∗a′)(x0+k∗b′,y0−k∗a′) ,其中a′=agcd(a,b)a′=agcd(a,b)，b′=bgcd(a,b)b′=bgcd(a,b)

证明：

如果我们现在有解(x1,y1)(x1,y1)，任取另外一组解(x2,y2)(x2,y2)，则

a∗x1+b∗y1=a∗x2+b∗y2=gcd(a,b)a∗x1+b∗y1=a∗x2+b∗y2=gcd(a,b)

变形可以得到a∗(x1–x2)=b∗(y2–y1)a∗(x1–x2)=b∗(y2–y1)

两边同时除以gcd(a,b)gcd(a,b)

得到a′∗(x1–x2)=b′∗(y2–y1)a′∗(x1–x2)=b′∗(y2–y1)

因为(a′,b′)=1(a′,b′)=1，所以 (x1−x2)(x1−x2) 一定是b’的倍数

取x1−x2=k∗b′x1−x2=k∗b′,得y2−y1=k∗a′y2−y1=k∗a′

三、求逆元

由于aφ(m)≡1(mod m)aφ(m)≡1(mod m) 那么a−1≡aφ(m)−1(mod m)a−1≡aφ(m)−1(mod m)

如果m为素数，那么答案为am−2am−2

否则解线性同余方程

四、线性求1到n的逆元

设f(i)=i! mod p,g(i)=i!−1 mod pf(i)=i! mod p,g(i)=i!−1 mod p

g(i)=g(i+1)∗(i+1)g(i)=g(i+1)∗(i+1)

i−1=f(i−1)∗g(i)i−1=f(i−1)∗g(i)

算出fnfn然后求出fnfn的逆元gngn，递推即可。

五、线性同余方程组（CRT）

形如x≡ai(modmi)x≡ai(modmi)

解法：增量法

假设一开始的方程 x≡a1(mod p1),x≡a2(mod p2)x≡a1(mod p1),x≡a2(mod p2)

那么有 p1t+a1≡a2(mod p2)p1t+a1≡a2(mod p2)

p1t≡a2−a1(mod p2)p1t≡a2−a1(mod p2)

p1t+p2y=a2−a1p1t+p2y=a2−a1

可以通过扩欧解出一个解t0t0

t≡t0(mod p2gcd(p2,p1))t≡t0(mod p2gcd(p2,p1)) (通过扩欧的小结论得出)

x0=p1t0+a1x0=p1t0+a1

x≡x0(mod lcm(p1,p2))x≡x0(mod lcm(p1,p2)) 满足左边等式的x都是这两个方程符合条件的解

然后加入下一个方程

六、求n!中p的指数

∑i≥1⌊npi⌋∑i≥1⌊npi⌋

还有一个O(1)求的公式（可以用于一些奇怪的数位dp）

n−f(n)p−1n−f(n)p−1

f(n) 表示 n在p进制下的数位和

然而公式怎么推的并不会。。。

七、组合数

n,m较小的话 C(n,m)=C(n−1,m)+C(n−1,m−1)C(n,m)=C(n−1,m)+C(n−1,m−1)递推即可（NOIP2017提高组DAY2T1！！！当时就因为不知道递推式吃了亏）

n,m较大的话暴力用f(n)∗g(m)∗g(n−m)f(n)∗g(m)∗g(n−m)求就可以（f,g定义参考线性求1到n逆元里的定义）

还有一种更快的方式求组合数 想学习一下的人百度Lucas定理

这里给出公式：

C(n,m)%p=C(n%p,m%p)∗C(np,mp)%pC(n,m)%p=C(n%p,m%p)∗C(np,mp)%p

八、求阶

暴力枚举1到φ(m)判断即可

九、求原根

从小到大枚举g然后暴力判断即可

十、指数方程

①ax≡b(mod m)ax≡b(mod m)

如果m为素数：

使用BSGS（baby-step giant-step）解决

令x=qt−rx=qt−r ( t一般取根号下m上取整)

则 aqt≡b∗ar(mod m)aqt≡b∗ar(mod m)

从0-m 枚举r 算出b∗arb∗ar 的值 填入一个哈希表中

从1-m 枚举q 算出aqtaqt 的值，在哈希表中检索

如果m不是素数：

提取公因数直到gcd(a,m)=1gcd(a,m)=1

可能大家不理解

举个栗子：

假设我们要解一个方程8x≡16(mod 24)8x≡16(mod 24)

8和24不互质

所以我们先提取一个8

变成 8∗8x−1≡16(mod 24)8∗8x−1≡16(mod 24)

然后约一下变成 8x−1≡2(mod 3)8x−1≡2(mod 3)

最后用BSGS求解得x=2

如果(a,m)≠(a,m,b)(a,m)≠(a,m,b)的话无解

②xa≡b(mod m)xa≡b(mod m)

如果m为素数：

如果gcd(a,φ(m))=1gcd(a,φ(m))=1,那么求出a模φ(m)的逆元a−1a−1

xa∗a−1≡x≡ba−1(mod m)xa∗a−1≡x≡ba−1(mod m)

直接解x即可

否则：

先求出m的原根g

解出一个s符合 gs≡b(mod m)gs≡b(mod m)

假设 x=gtx=gt

那么 gat≡gs(mod m)gat≡gs(mod m)

由原根的性质得到：at≡s(mod φ(m))at≡s(mod φ(m))

解出t即可

如果m不为素数：

分解m然后用CRT合并

当出现2^n时，因为它没有原根，所以说枚举答案即可

十一、二次剩余

形如 x2≡b(mod p)x2≡b(mod p)

判断一个数是不是另一个数的二次剩余，只需要计算bp−12%pbp−12%p是否等于1即可

复杂度O(p)

还有一种O(log n)的算法叫做cipolla’s algorithm，然而我并不会这种算法，而且这种算法貌似非常冷门，只有维基百科上才能查到…

至于二次剩余的用处嘛…据说可以用来卡常数

十二、Miller-rabin

一个判断一个数是不是素数的算法

并不会写…直接背代码就好2333

十三、Pollard-rho

分解质因数

也不会写…也可以直接背代码QwQ

（三）数论函数

一、积性函数

对于gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1,如果 f(a∗b)=f(a)∗f(b)f(a∗b)=f(a)∗f(b) 那么f(x) 为积性函数

常见的积性函数 d(x),σ(x),id(x),e(x),l(x),μ(x)d(x),σ(x),id(x),e(x),l(x),μ(x)

d(x)=∑a|x1d(x)=∑a|x1

σ(x)=∑a|xaσ(x)=∑a|xa

id(x)=xid(x)=x

l(x)=1l(x)=1

e(x)=1(x=1)e(x)=1(x=1)

e(x)=0(x≠1)e(x)=0(x≠1)

二、狄利克雷卷积

两个数论函数f(x),g(x)f(x),g(x),令h=f∗gh=f∗g

则 h(x)=∑a|xf(a)g(xa)h(x)=∑a|xf(a)g(xa)

几条性质：

①卷积满足交换律，结合律。

②两个积性函数的卷积还是积性函数

③f∗e=ff∗e=f

三、莫比乌斯函数

μ(n)=−1kμ(n)=−1k (k为n分解质因数后不同质因数的个数)

如果n有平方因子那么μ(n)=0μ(n)=0

如何n=1n=1那么μ(n)=1μ(n)=1

μ∗l=eμ∗l=e

即∑d|nμ(d)=e(n)∑d|nμ(d)=e(n) （这个结论大家自己想一下，可以借助杨辉三角辅助理解）

四、莫比乌斯反演

1.如果F(n)=∑d|nf(d)F(n)=∑d|nf(d) 那么 f(n)=∑d|nμ(d)∗F(nd)f(n)=∑d|nμ(d)∗F(nd)

推导：

F=f∗lF=f∗l

F∗μ=f∗l∗μ=f∗e=fF∗μ=f∗l∗μ=f∗e=f

2.如果F(n)=∑n|df(d)F(n)=∑n|df(d) 那么 f(n)=∑n|dμ(dn)∗F(d)f(n)=∑n|dμ(dn)∗F(d)

五、线性筛素数

思想：每个合数只被它最小的素因子访问到

代码：

void get_prim(int n)
{
vis[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!vis[i])
{
cnt++;prim[cnt]=i;
}
for (int j=1;j<=cnt&&i*prim[j]<=n;j++)
{
vis[i*prim[j]]=1;
if (i%prim[j]==0) break;  //看不懂这一步的去重新理解思想
}
}
}

扩展：通过线性筛可以线性求出一个积性函数的值。

欢迎各位神犇前来交流qwq