51nod 1836 战忽局的手段 矩阵乘法

题意

众所周知，有一个神秘的组织——战忽局，在暗中保护着我们。在局中任职的官员都有着极强的忽悠技巧，不只能用预言，还能用往事忽悠人。如今某外星间谍已经获得了战忽局曾经参与的n次事件的资料，局座发现了这件事，于是决定再次用忽悠来保证战忽局的安全。局座将发表m次演讲，每一天他都会从n事件中等概率地挑选一件混淆众人，由于局座每天很忙，不能把之前将的事件都记录下来，因此他可能会重复选择某一件事。现在局座想知道，m次演讲过后，期望能使多少事件混淆众人。

T<=1000,n,m<=10^18

分析

设f[i]表示i次演讲后期望时间。

通过推式子不难得到f[i]=f[i-1]*(n-1)/n+1。

直接矩阵乘法优化即可。

由于精度问题要用__float128.

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

struct Matrix{__float128 a[3][3];}a;

void mul(Matrix &c,Matrix a,Matrix b)
{
for (int i=1;i<=2;i++)
for (int j=1;j<=2;j++)
c.a[i][j]=0;
for (int i=1;i<=2;i++)
for (int k=1;k<=2;k++)
for (int j=1;j<=2;j++)
c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
}

Matrix ksm(Matrix x,LL y)
{
Matrix ans=x;y--;
while (y)
{
if (y&1) mul(ans,ans,x);
mul(x,x,x);y>>=1;
}
return ans;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
LL n,m;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
a.a[1][1]=a.a[1][2]=1.0;
a.a[2][1]=0;a.a[2][2]=(__float128)1.0*(n-1)/n;
a=ksm(a,m);
printf("%.7lf\n",(double)a.a[1][2]);
}
return 0;
}