CQBZOJ 【重庆市NOIP模拟赛】避难向导
2017-08-12 16:17
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题目描述
“特大新闻,特大新闻!全国爆发了一种极其可怕的病毒,已经开始在各个城市 中传播开来!全国陷入了巨大的危机!大量居民陷入恐慌,想要逃到其它城市以 避难!经调查显示,该病毒来自于C 市的A 学校的一次非法的……” “哎。”你关上电视,叹了口气。作为A 学校的校长,你一天前为了保命,独自 逃离了A 学校,抛弃了全校师生,包括那个曾经帮你计算并拆除道路的工程师。 你良心受到了巨大的谴责,因此决定做出一些补救,回答一些逃难的人提出的询 问。 已知该国一共有n 个城市,并且1 号城市是首都。(n-1)条双向的公路连接这些 城市,通过这些公路,任意两个城市之间存在且仅存在一条路径。每条公路有一 个长度。如果一个城市只与一条公路相连,则称它为边境城市。 该国政府有一个奇怪的规定:每个城市有一个封闭系数di,定义di 为离这个城 市最远的边境城市到这个城市的距离。市民们认为,一个城市的安全系数Si 和 它的封闭系数有很重要的联系。a,b,c 是该国的幸运数字,所以大家公认一个 城市的安全系数Si = (di + a) * b mod c。 市民们一共会提出m 次询问。每个询问包含三个信息,xi,yi 和qi。xi 是询问 者所在的城市编号。你要为这个询问者在xi 到yi 的必经之路上找出一个离xi 最近的避难城市,并且要求这个避难城市的安全系数大于等于qi。如果存在这 样的城市(包含xi 和yi),则输出城市编号,否则输出一行包括一个数-1。
输入
第一行五个数:依次是n, m, a, b, c。 接下来n-1 行描述公路的信息。每行三个数,前两个数代表这条公路连接的两个 城市的编号,第三个数表示这条公路的长度。 再接下来m 行,每行描述一个询问,包含三个数xi, yi 和qi。
输出
对于每个询问,输出一行包含一个整数,存在符合要求的城市则输出城市编号, 不存在则输出-1。
样例输入
7 6 5 6 20
1 2 4
2 4 2
2 5 3
1 3 5
3 6 6
6 7 7
7 5 15
3 4 5
5 4 2
4 5 2
6 6 10
3 5 19
样例输出
6
3
2
4
6
-1
这个题目本身就是两种题型的合并
1、树的最长路径
2、树形倍增数组寻找最值
m^2p 刚学倍增就做这种有(wei)趣(suo)的题真的好吗
先解决最长链的问题,我用的是DP做法,时间复杂度为O(n):
设g[root][0]与g[root][1]为以root为根节点的子树由树根到叶节点的最长链和次长链,注意,最长链与次长链无重合边
一次DFS即可初始化
再设f[root][0]f[root][0]与f[root][1]表示以root为起点的最长链和次长链,也无重合边,一次DFS也可做到
最麻烦的就是倍增查询了:
先看看m的范围 300000
300000 是一个转折点,因为O(nlognlogn)在300000下会TLE
这就让我们只能用O(nlogn)来解决问题
状态应该不难定义:
设f[i][j]表示i节点的第2j个祖先的节点编号
设g[i][j]表示i节点到第2j个祖先之间的点权最大值
接下来便是O(logn)的查询,O(longnlogn)很好想,但现实就是这么骨感QwQ
设c=LCA(a,b),将一个路径拆分成a−>c−>b两部分
将总任务拆分成两个子任务
将一条x−y的直链看成A和B两部分
A中包含2的整数次幂个节点,且A的长度大于x−y总长度的一半
通过这样的观点来考察上述两个子任务:
一、离x最近的:
知道k时,可以O(1)判断答案是否在A中。
① 如果在A中,枚举i从k−1到0即可得到答案。
② 如果A中不存在合法解,则令x=f[x][k],递归进行以上过程。
对于①,整个递归过程中只有得出答案前会被执行一次。
对于②,每次递归后k的值减少,而k上界为logn,下界为0,所以递归深度为O(logn)
综上,该操作复杂度为O(logn)
二、离x最远的:
① 优先令x=f[x][k],递归在B段中求解。如递归返回后已经得到答案,则直接返回答案。
② 如经过①没有获得答案,则O(1)检查A段中是否有答案,如果没有,则x−y整段路径中无解。如果有,则枚举i从k−1到0即可定位答案。
类似子任务一,该部分的复杂度为O(logn)。
码了三个小时,终于AC了!!!!!!
代码如下:
“特大新闻,特大新闻!全国爆发了一种极其可怕的病毒,已经开始在各个城市 中传播开来!全国陷入了巨大的危机!大量居民陷入恐慌,想要逃到其它城市以 避难!经调查显示,该病毒来自于C 市的A 学校的一次非法的……” “哎。”你关上电视,叹了口气。作为A 学校的校长,你一天前为了保命,独自 逃离了A 学校,抛弃了全校师生,包括那个曾经帮你计算并拆除道路的工程师。 你良心受到了巨大的谴责,因此决定做出一些补救,回答一些逃难的人提出的询 问。 已知该国一共有n 个城市,并且1 号城市是首都。(n-1)条双向的公路连接这些 城市,通过这些公路,任意两个城市之间存在且仅存在一条路径。每条公路有一 个长度。如果一个城市只与一条公路相连,则称它为边境城市。 该国政府有一个奇怪的规定:每个城市有一个封闭系数di,定义di 为离这个城 市最远的边境城市到这个城市的距离。市民们认为,一个城市的安全系数Si 和 它的封闭系数有很重要的联系。a,b,c 是该国的幸运数字,所以大家公认一个 城市的安全系数Si = (di + a) * b mod c。 市民们一共会提出m 次询问。每个询问包含三个信息,xi,yi 和qi。xi 是询问 者所在的城市编号。你要为这个询问者在xi 到yi 的必经之路上找出一个离xi 最近的避难城市,并且要求这个避难城市的安全系数大于等于qi。如果存在这 样的城市(包含xi 和yi),则输出城市编号,否则输出一行包括一个数-1。
输入
第一行五个数:依次是n, m, a, b, c。 接下来n-1 行描述公路的信息。每行三个数,前两个数代表这条公路连接的两个 城市的编号,第三个数表示这条公路的长度。 再接下来m 行,每行描述一个询问,包含三个数xi, yi 和qi。
输出
对于每个询问,输出一行包含一个整数,存在符合要求的城市则输出城市编号, 不存在则输出-1。
样例输入
7 6 5 6 20
1 2 4
2 4 2
2 5 3
1 3 5
3 6 6
6 7 7
7 5 15
3 4 5
5 4 2
4 5 2
6 6 10
3 5 19
样例输出
6
3
2
4
6
-1
这个题目本身就是两种题型的合并
1、树的最长路径
2、树形倍增数组寻找最值
m^2p 刚学倍增就做这种有(wei)趣(suo)的题真的好吗
先解决最长链的问题,我用的是DP做法,时间复杂度为O(n):
设g[root][0]与g[root][1]为以root为根节点的子树由树根到叶节点的最长链和次长链,注意,最长链与次长链无重合边
一次DFS即可初始化
再设f[root][0]f[root][0]与f[root][1]表示以root为起点的最长链和次长链,也无重合边,一次DFS也可做到
最麻烦的就是倍增查询了:
先看看m的范围 300000
300000 是一个转折点,因为O(nlognlogn)在300000下会TLE
这就让我们只能用O(nlogn)来解决问题
状态应该不难定义:
设f[i][j]表示i节点的第2j个祖先的节点编号
设g[i][j]表示i节点到第2j个祖先之间的点权最大值
接下来便是O(logn)的查询,O(longnlogn)很好想,但现实就是这么骨感QwQ
设c=LCA(a,b),将一个路径拆分成a−>c−>b两部分
将总任务拆分成两个子任务
将一条x−y的直链看成A和B两部分
A中包含2的整数次幂个节点,且A的长度大于x−y总长度的一半
通过这样的观点来考察上述两个子任务:
一、离x最近的:
知道k时,可以O(1)判断答案是否在A中。
① 如果在A中,枚举i从k−1到0即可得到答案。
② 如果A中不存在合法解,则令x=f[x][k],递归进行以上过程。
对于①,整个递归过程中只有得出答案前会被执行一次。
对于②,每次递归后k的值减少,而k上界为logn,下界为0,所以递归深度为O(logn)
综上,该操作复杂度为O(logn)
二、离x最远的:
① 优先令x=f[x][k],递归在B段中求解。如递归返回后已经得到答案,则直接返回答案。
② 如经过①没有获得答案,则O(1)检查A段中是否有答案,如果没有,则x−y整段路径中无解。如果有,则枚举i从k−1到0即可定位答案。
类似子任务一,该部分的复杂度为O(logn)。
码了三个小时,终于AC了!!!!!!
代码如下:
#include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #define LOG 20 #define maxn 100000 using namespace std; inline int getint() { int num=0,flag=1;char c; while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1; while(c>='0'&&c<='9')num=num*10+c-48,c=getchar(); return num*flag; } int s[maxn+5]; int fir[2*maxn+5],nxt[2*maxn+5],to[2*maxn+5],dis[2*maxn+5],cnt; int n,m,a,b,c; inline void newnote(int u,int v,int w){to[++cnt]=v,dis[cnt]=w,nxt[cnt]=fir[u],fir[u]=cnt;} struct node1{ int f[maxn+5][2],g[maxn+5][2]; bool vis[maxn+5]; inline void work(int root) { int i; vis[root]=1; for(i=fir[root];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) { work(to[i]); if(g[to[i]][0]+dis[i]>g[root][0]) g[root][1]=g[root][0],g[root][0]=g[to[i]][0]+dis[i]; else if(g[to[i]][0]+dis[i]>g[root][1]) g[root][1]=g[to[i]][0]+dis[i]; } } inline void dp(int x,int fa,int c) { vis[x]=1; if(x==1) f[x][0]=g[x][0],f[x][1]=g[x][1]; else if(f[fa][0]==g[x][0]+c) { if(g[x][0]>=f[fa][1]+c) f[x][0]=g[x][0],f[x][1]=max(f[fa][1]+c,g[x][1]); else f[x][0]=f[fa][1]+c,f[x][1]=g[x][0]; } else f[x][0]=f[fa][0]+c,f[x][1]=g[x][0]; for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]])dp(to[i],x,dis[i]); } }farthest; struct node2{ int f[maxn+5][LOG+1],g[maxn+5][LOG+1],dep[maxn+5]; bool vis[maxn+5]; inline void dfs(int x) { for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) { vis[to[i]]=1;dep[to[i]]=dep[x]+1;f[to[i]][0]=x; g[to[i]][0]=max(s[to[i]],s[x]);dfs(to[i]); } } inline void dp() { for(int j=1;j<=LOG;j++)for(int i=1;i<=n;i++) { f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; g[i][j]=max(g[f[i][j-1]][j-1],g[i][j-1]); } } inline int getg(int u,int k) { int ans=-(1<<30); for(int i=LOG;i>=0;i--) if(k&(1<<i))ans=max(ans,g[u][i]),u=f[u][i]; return ans; } inline int getk(int u,int k) { for(int i=LOG;i>=0;i--) if(k&(1<<i))u=f[u][i]; return u; } inline int getd(int u,int d){return getk(u,dep[u]-d);} inline int LCA(int u,int v) { int x=getd(u,min(dep[v],dep[u])); int y=getd(v,min(dep[u],dep[v])); if(x==y)return x; for(int i=LOG;i>=0;i--) if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][0]; } inline int getg1(int x,int y,int w) { if(x==y)return s[x]>=w?x:-1; int t=log2(dep[x]-dep[y]); if(g[x][t]>=w) { for(int i=t-1;i>=0;i--) if(g[x][i]<w)x=f[x][i]; return s[x]>=w?x:f[x][0]; } else return getg1(f[x][t],y,w); } inline int getg2(int x,int y,int w) { if(x==y)return s[x]>=w?x:-1; int t=log2(dep[x]-dep[y]); int tmp=getg2(f[x][t],y,w); if(tmp!=-1) return tmp; if(g[x][t]>=w) { for(int i=t-1;i>=0;i--) if(g[f[x][i]][i]>=w)x=f[x][i]; return s[f[x][0]]>=w?f[x][0]:x; } return -1; } }getans; int main() { int i,u,v,w; n=getint(),m=getint(),a=getint(),b=getint(),c=getint(); for(i=1;i<n;i++) { u=getint(),v=getint(),w=getint(); newnote(u,v,w),newnote(v,u,w); } farthest.work(1); memset(farthest.vis,0,sizeof farthest.vis); farthest.dp(1,0,0); for(i=1;i<=n;i++) s[i]=((long long)((farthest.f[i][0]+a)%c)*(b%c))%c; getans.dep[1]=getans.vis[1]=1,getans.dfs(1); getans.dp(); for(i=1;i<=m;i++) { u=getint(),v=getint(),w=getint(); if(u==v){printf("%d\n",s[u]<w?-1:u);continue;} int lca=getans.LCA(u,v); int g1=getans.getg1(u,lca,w),g2=getans.getg2(v,lca,w); if(~g1)printf("%d\n",g1); else printf("%d\n",g2); } }
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