您的位置：首页 > 其它

搞学术离不开的那些数学（概率论与数理统计）—第一章概率论基本概念

2017-08-12 15:43 288 查看

第一章概率论基本概念

声明：本博客图片来源于四川大学徐小湛老师讲义，仅做学习使用，请勿擅自转载，如有转载请联系博主，谢谢！！

1 随机试验

为了引出随机试验的概念，首先，我们需要了解什么是随机现象？

随机现象：就是在个别试验中其结果呈现不确定性，但在大量重复试验中，其结果又具有统计规律的现象。

为了研究随机现象，就要对客观事件进行观察。那么，观察随机现象的过程就称为随机试验，简称试验。

那么，如何确定是否是随机试验呢？随机试验具有以下几个特点：

在相同的条件下，试验可以重复进行；

每一次试验的可能结果不止一个，并且实能事先明确试验的所有可能结果；

在每次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

2 样本空间、随机事件

1. 样本空间

对于随机试验E 中所有可能的结果组成的集合称为E 的样本空间（Sample space），记为S （或 Ω）。其中，样本空间中的元素，即E 中每一个结果，称为样本点。

2. 随机事件

随机试验E的样本空间S的子集A称为E的随机事件（random event），简称事件。而由一个样本点e组成的单点集{ e } ，称为基本事件（Elementary event）。

3. 必然事件

样本空间S 包含了试验的所有样本店，在每次试验中它总会发生，则称S 是必然事件（certain event）。

4. 不可能事件

空集∅ 包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，称∅ 为不可能事件（impossible event）。

5. 事件的包含

如果事件A 发生必然导致事件B 发生，即属于A 的样本点也属于B ，则称事件B 包含事件A ，或者称事件A 包含于事件* B* 记作

B ⊃A 或A ⊂ B

6. 事件的相等

如果事件A 包含事件B （A ⊃ B），事件B 也包含事件A（A ⊂ B），即A 与B有相同的样本点，则称事件A与事件B相等，记作

A =B 。

7. 事件的运算

事件的并（和）

两个事件A 与事件B 至少一个发生，即“A 或B“,是一个事件则称事件A 与事件B 的并（和） ，记作

A ∪B 或者A+B={x|x∈A 或 x∈B }，如图所示：

推广：

事件的并（和）可以推广到有限或者可列个事件。

n个事件A1，A2，…. ，An中至少有一个发生的事件称为这些事件的和事件 。

记作

事件的交（积）

两个事件A 与B 同时发生，即 “A 且 B，是一个事件，称事件A与事件B 的交（积）。记作

A∩B 或AB ={x|x∈A 且x∈B }，如图：

推广：

事件的交（积）可以推广到有限或者可列个事件。

n个事件A1，A2，…. ，An同时发生的事件称为这些事件的积事件 。

记作

对立事件（逆事件）

如果每一次试验中，事件A与事件B必有一个发生，但又不同时发生，则称事件A 与事件B 为对立事件（opposite event） ，也称A 与* B* 为互逆事件（complement event），事件A 的对立事件（逆事件）叫“A 逆，非A ”，记作

逆运算的性质

事件的差

事件A 发生，而事件B不发生的事件称为事件A 与事件B 的差，记作

A-B 或“A 差B ”={x|x∈A 且 ∉ B }则，

互不相容事件（互斥事件）

如果事件A 与事件 B 不能同时发生，则称事件A与事件B 互不相容（incompatible）或称互斥（mutually exclusive）

AB=∅ 如图：

事件A 与事件B 互不相容的充分必要条件是

对立事件和互不相容事件的关系

对立事件一定是互不相容，但互不相容事件未必对立。

6 . 完备事件组

如果事件A1，……,An两两互不相容，并且

A1∪…∪An = S，则称A1，……,An 是一个完备事件组 （每一次试验中，完备事件组中有且仅有一个事件发生）。

8. 事件的运算律

设A,B,C 为事件，则有

1. 交换律

2. 结合律

3. 分配律

4. 德摩根律（对偶原理）

推广

5 . 其他运算律

3 频率和概率

概率论研究的是随机现象的统计规律性，因此，仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的可能性大小进行量的描述。为此，我们引入了频率的概念。

频率（Frequency）是描述事件发生的频率程度的一个量

表征事件在一次试验中发生的可能性的大小的数，即事件的概率

1. 频率定义

设在相同的条件下，进行了n次试验。在这n次试验中，事件 A 发生的次数称为事件 A 发生的频数，记作n（A）

比值n（A）/n称为事件A的频率，记作fn（*A）*,即

由定义可得频率的基本性质：

推广

2. 概率定义

大量试验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，事件A 的频率fn（*A）* 呈现出一种稳定性（统计规律性），即频率会逐渐趋定于一个介于0和1之间的常数。因此，我们由此定义了概率。

事件 A 发生的频率的稳定值p称为A的统计概率，记作P（A），即

P（A）=p

当实验次数n 相当大时，可以用频率作为概率的近似值：

P（A）≈fn（A）=n（A）/n

我们从频率的性质定义概率公理化定义。

频率的性质

得出概率公理化定义：

3.几何概率

几何概率的定义

几何概率的性质

4. 概率的性质

性质1：P（∅）=0（不可能事件的概率为零）

性质2：有限可加性设 A1，A2，……,An是两两互不相容的事件，则有P(A1∪A2∪…….∪An）=P（A1）+P（A2）+…….+P（An）

推论

设A1,A2……,An 是一个完备事件组，则P（A1）+P（A2）+…….+P（An）=1

性质3：设事件 A 和事件B 满足 A⊂ B，则

（1）P（A）≤P（B）（单调性）

（2）P（B-A）=P（B）-P（A）（减法公式）

性质4: 对任何事件 A 有

0≤P（A）≤1

性质5：逆事件的概率对于任何事件 A 有

这个公式在计算概率时常用，当直接计算某事件比较困难时，可以转而计算其对立事件的概率。

性质6（加法公式）：对于任意两个事件 A 和 B 有

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

推广

证明

（加法和乘法原理及排列组合略）

4 等可能概型（古典概型）

1.定义

两个共同特点：

（1）试验的样本空间包含有限个元素；

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。

2.等可能概型中事件的概率计算公式

P(A)=k/n=A包含的基本事件数/S中基本事件总数

5 条件概率

1.定义

考虑的是在一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

-=====================================================

例1：

将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A表示“至少有一次出现正面”，事件B表示“两次都出现同一面”。

求（1）事件B的概率；

（2）已知A发生的条件下，事件B的概率。

解：

样本空间 S={正正，正反，反正，反反}

A={正正，正反，反正}

B={正正，反反}

（1）P(B)=2/4=1/2（无条件概率）

（2）在A中出现B的基本事件只有一个“正正”

P(B|A)=( P(AB)/P(A) )=1/3（条件概率）

-=====================================================

P(B|A)=N（AB）/N(A)=(N(AB)/N(S))/(N(A)/N(S))=P(AB)/P(A)

定义设A，B 是两个事件，且P(A)>0 ，称P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率（Conditional probablity）。记作P(B|A)。

条件概率满足概率的三个条件（见上）

2.乘法定理

3.全概率公式和贝叶斯公式

1.全概率公式

概括为：

证明如下所示：

全概率公式的意义

将复杂的事件A划分成较为简单的事件AB1，AB2,…,ABn，再结合加法公式和乘法公式计算出A 的概率。

可以看成“有原因推到结果”

举例

2.贝叶斯公式

定义：

若今后用到贝叶斯公式时，会再单独做详细介绍说明！

6 独立性

1.定义

设A,B 是两个事件，如果它们满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立，简称A,B 独立。

定理一 设A,B是两个事件，且P(A)>0,则 A,B 独立的充分必要条件是 P(B|A)=P(B)。

2.事件独立与互斥的关系

如果P(A)>0,P(B)>0,则A,B独立，与A,B互斥不能同时成立，因为A,B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)>0,而互斥AB=空集，得P(AB)=空=0

零概率事件与任何事件都是相互独立的；概率为1的事件与任何事件都是相互独立。

定理二