TK题库 1133 最大子阵和（动态规划DP 最大字段和）

原题

 最大子阵和

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题目描述

有一个包含正数和负数的二维数组。一个子矩阵是指在该二维数组里，任意相邻的下标是1*1或更大的子数组。一个子矩阵的和是指该子矩阵中所有元素的和。本题中，把具有最大和的子矩阵称为最大子矩阵。

例如：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

这个数组的最大子矩阵为：

9 2

-4 1

-1 8

其和为15。

输入

输入包含多组测试数据。每组输入的第一行是一个正整数N（1<=N<=100），表示二维方阵的大小。接下来N行每行输入N个整数，表示数组元素，范围为[-127，127]。

输出

输出最大子阵和。

样例输入

4

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

样例输出

15

涉及知识及算法

首先，这个子矩阵可以是任意大小的，而且起始点也可以在任何地方，所以，要把最大子矩阵找出来，我们要考虑多种情况。

假定原始矩阵的行数为M，那么对于子矩阵，它的行数可以是1到M的任何一个数。
对于一个K行（K < M）的子矩阵，它的第一行可以是原始矩阵的第1行到 M - K + 1 的任意一行。

假设这个最大子矩阵的维数是一维，要找出最大子矩阵, 原理与求“最大子段和问题” 是一样的。
最大子段和问题的递推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是从0开始到j的最大子段和。例子：
假设一个一维子矩阵为：[9， 2， -6， 2]， 那么b[] = {9, 11, 5, 7}, 那么最大字段和为11， 如果找最大子矩阵的话，那么这个子矩阵是 [9， 2] 。

但是，原始矩阵可以是二维的。假设原始矩阵是一个3 * n 的矩阵，那么它的子矩阵可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。 
如果是1 * k，这里有3种情况：子矩阵在第一行，子矩阵在第二行，子矩阵在第三行。
如果是2 * k，这里有两种情况，子矩阵在第一、二行，子矩阵在第二、三行。
如果是3 * k，只有一种情况。

假设这个子矩阵是 2 *k, 也就是说它只有两行，如果我们把这两行上下相加，情况就和求“最大子段和问题” 又是一样的了。

我们要考虑这个子矩阵有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一种情况下，我们都要把它所对应的矩阵部分上下相加才求局部最大子矩阵。

比如，假设子矩阵是一个3*k的矩阵，而且，它的一行是原始矩阵的第二行，那么，我们就要在

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

里找最大的子矩阵。

如果把它上下相加，我们就变成了 4, 11, -10,1， 从这个数列里可以看出，在这种情况下，最大子矩阵是一个3*2的矩阵，最大和是15.
为了能够在原始矩阵里很快得到从 i 行到 j 行 的上下值之和，我们这里用到了一个辅助矩阵t，它是原始矩阵从上到下加下来的。

如果我们要求第 i 行到第 j 行之间上下值的和，我们可以通过t[j][f] - t[i-1][f] 得到。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=100;
int N;
//最大字段和数组
int maxSub[MAXN];
//存储原始矩阵
int m[MAXN][MAXN];
//从首行到当前行的和矩阵
int t[MAXN][MAXN];
//从i行到第j行所对应的矩阵上下值的和
int ij[MAXN];
//最大字段和
int maxSubsequence(int a[])
{
int Max=maxSub[0]=a[0];
for(int i=1;i<N;i++)
{
maxSub[i]=(maxSub[i-1]>0)?(maxSub[i-1]+a[i]):a[i];
if(Max<maxSub[i])
{
Max=maxSub[i];
}
}
return Max;
}

int subMaxMatrix()
{
for(int i=1;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
t[i][j]+=t[i-1][j];
}
}
int Max=-999;
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=i;j<N;j++)
{
for(int f=0;f<N;f++)
{
if(i==0)
{
ij[f]=t[j][f];
}
else
{
ij[f]=t[j][f]-t[i-1][f];
}
}
int result=maxSubsequence(ij);
if(result>Max)
{
Max=result;
}
}
}
return Max;
}

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d",&N)==1)
{
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
scanf("%d",&m[i][j]);
t[i][j]=m[i][j];
}
}
printf("%d\n",subMaxMatrix());
}
return 0;
}

文章转载自CSDN博主beiyeqingteng，链接http://blog.csdn.net/beiyeqingteng/article/details/7056687，表示感谢。