【专题】LCA（最近公共祖先）

简介

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：

在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。

所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

讲解

我们今天介绍一种计算LCA的方法——Tarjan。

Tarjan算法是一种离线的操作。它可以实现一次性用O(nm)的时间（m是询问的个数）算出所有询问的LCA。

Tarjan算法大概流程有三个步骤：

1. 搜索子节点，直到无法延伸下去为止。

2. 查找询问，即所有与它有关系的点，如果它也被访问过，就可以直接寻找。

3. 查询完毕，与父亲合并，返回。

程序的流程大概是这样的：

void Tarjan(int t)
{
int i=last[t],yy=0;
bz[t]=true;
while (i)
{
yy=tov[i];
if (bz[yy]==false)
{
Tarjan(yy);
father[yy]=t;//合并父亲结点
}
i=next[i];
}
for (i=1;i<=与t有关系的点的个数;++i)
{
设这个数为x；
LCA(t,x)=find(x);
}
}

这样可能还是不太明白，那我在这里举一个模拟的例子。



我们从根结点开始搜索：



这样操作完整棵树，然后就可以把所有的操作都算完……