hdu-1465不容易系列之一
2017-08-11 16:14
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Description
大家常常感慨,要做好一件事情真的不容易,确实,失败比成功容易多了!
做好“一件”事情尚且不易,若想永远成功而总从不失败,那更是难上加难了,就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说,我还是要告诉大家,要想失败到一定程度也是不容易的。比如,我高中的时候,就有一个神奇的女生,在英语考试的时候,竟然把40个单项选择题全部做错了!大家都学过概率论,应该知道出现这种情况的概率,所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语,我们可以这样总结:一个人做错一道选择题并不难,难的是全部做错,一个不对。
不幸的是,这种小概率事件又发生了,而且就在我们身边:
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学,结交网友无数,最近该同学玩起了浪漫,同时给n个网友每人写了一封信,这都没什么,要命的是,他竟然把所有的信都装错了信封!注意了,是全部装错哟!
现在的问题是:请大家帮可怜的8006同学计算一下,一共有多少种可能的错误方式呢?
Input
输入数据包含多个多个测试实例,每个测试实例占用一行,每行包含一个正整数n(1<n<=20),n表示8006的网友的人数。
Output
对于每行输入请输出可能的错误方式的数量,每个实例的输出占用一行。
Sample Input
2
3
Sample Output
1
2
在杭电网站上偶遇的题目,涉及到了错排公式,网上的推导过程比较难以理解(当然肯定是我理解能力不行),这里放上一段在度娘上找到的个人认为比较好理解的推导过程。
错排递推公式:f(n)=(n-1)*(f(n-2)+f(n-1));
颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文(见《数学通报》 2000 年第 6 期
p.35 ),给出了该经典问题的一个模型和求解公式:
编号为 1 , 2 ,……, n 的 n
个元素排成一列,若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同,则称这个排列为 n
个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ,则
f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]( 1 )
本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。
1. 一个简单的递推公式
n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成:
第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1
种方法。
第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若 1
号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k
号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生:( 1 ) k 号元素排在第 1
个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2)
种方法;( 2 ) k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k
个位置,于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1)
种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。
根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。
耐心仔细看过之后应该可以理解个大概意思。
AC代码
大家常常感慨,要做好一件事情真的不容易,确实,失败比成功容易多了!
做好“一件”事情尚且不易,若想永远成功而总从不失败,那更是难上加难了,就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说,我还是要告诉大家,要想失败到一定程度也是不容易的。比如,我高中的时候,就有一个神奇的女生,在英语考试的时候,竟然把40个单项选择题全部做错了!大家都学过概率论,应该知道出现这种情况的概率,所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语,我们可以这样总结:一个人做错一道选择题并不难,难的是全部做错,一个不对。
不幸的是,这种小概率事件又发生了,而且就在我们身边:
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学,结交网友无数,最近该同学玩起了浪漫,同时给n个网友每人写了一封信,这都没什么,要命的是,他竟然把所有的信都装错了信封!注意了,是全部装错哟!
现在的问题是:请大家帮可怜的8006同学计算一下,一共有多少种可能的错误方式呢?
Input
输入数据包含多个多个测试实例,每个测试实例占用一行,每行包含一个正整数n(1<n<=20),n表示8006的网友的人数。
Output
对于每行输入请输出可能的错误方式的数量,每个实例的输出占用一行。
Sample Input
2
3
Sample Output
1
2
在杭电网站上偶遇的题目,涉及到了错排公式,网上的推导过程比较难以理解(当然肯定是我理解能力不行),这里放上一段在度娘上找到的个人认为比较好理解的推导过程。
错排递推公式:f(n)=(n-1)*(f(n-2)+f(n-1));
颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文(见《数学通报》 2000 年第 6 期
p.35 ),给出了该经典问题的一个模型和求解公式:
编号为 1 , 2 ,……, n 的 n
个元素排成一列,若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同,则称这个排列为 n
个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ,则
f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]( 1 )
本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。
1. 一个简单的递推公式
n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成:
第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1
种方法。
第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若 1
号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k
号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生:( 1 ) k 号元素排在第 1
个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2)
种方法;( 2 ) k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k
个位置,于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1)
种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。
根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。
耐心仔细看过之后应该可以理解个大概意思。
AC代码
#include <stdio.h> #include<string.h> int main() { long long n,i,a[25]; a[1]=0;a[2]=1; for(i=3;i<=22;i++) a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]); while(scanf("%lld",&n)!=EOF){ printf("%lld\n",a ); } }
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