（noip 模拟 allonsy）<概率+组合数学>

Problem

题⽬描述

“Allons-y!”

时间还算⾜够，好好看看题吧。

有⼀种说法，时间线是扭曲的，会相互交织。（⼀般在科幻⽚⾥⽐较流⾏？）

不管啦，反正现在有个蓝盒⼦，在时间线上随机游⾛。

记这个盒⼦⼀开始在时间线上的位置为 0，记当前位置为 pos，每⼀次穿梭，它

有 q 的概率到达 pos + 1，1 − q 的概率到达 pos − 1。

特别的，q 是⼀个有理数。

我们认为时间线的两端近乎在⽆穷远处，问 n 次穿梭后，蓝盒⼦离初始位置的

期望距离。

为了避免精度问题，这⾥采⽤取模来避免实数运算。

具体来说，输⼊会给出⼀个素数 p，⽽每次穿梭过程中从 pos 到达 pos+1 的概

率 q 将在模意义下给出。

（例如 q =a

b ，这⾥保证 b,p 互素，读⼊的将是模意义下

的

a

b ）。

输⼊格式

⼀⾏三个正整数 n,q,p，分别表⽰穿梭的次数、模 p 意义下的概率 q 和模数 p。

输出格式

⼀⾏⼀个整数，为蓝盒⼦离初始位置的期望距离在模意义下的值。

样例输⼊

100 1 1000000207

2.5 样例输出

100

4

2.6 数据规模和约定

对于全部的数据，10 9 ≤ p ≤ 2 × 10 9 且 p 为素数，0 ≤ q ≤ p − 1

对于 20% 的数据，n ≤ 15。

对于另外 30% 的数据，n ≤ 1000。

对于剩下 50% 的数据，n ≤ 5 × 10 4 。

Solution

O(n)求阶乘和逆元

其它的乱七八糟。。。

// by spli
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;

const int N=50010;
LL n,q,p;
LL fac
,inv
;

LL exp(LL a,LL b){
LL ret=1,k=a;
while(b){
if(b&1) (ret*=k)%=p;
b>>=1;
(k*=k)%=p;
}
return ret%p;
}

void factor(){
fac[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
inv
=exp(fac
,p-2);
for(int i=n-1;i>=0;--i)
inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
}

LL C(LL a,LL b){
return fac[b]%p*inv[b-a]%p*inv[a]%p;
}

int main(){
scanf("%lld%lld%lld",&n,&q,&p);
factor();
//for(int i=1;i<=10;++i) cout<<fac[i]<<" "<<inv[i]<<endl;
LL ans=0;
for(int i=0;i<=n;++i)
ans+=exp(1-q+p,n-i)*exp(q,i)%p*C(i,n)%p*abs(n-2*i)%p;
cout<<(abs(ans)+p)%p;
return 0;
}