dp经典问题

一、最大连续子段和51Nod - 1049

N个整数组成的序列a11,a22,a33,…,ann， 求该序列如aii+ai+1i+1+…+ajj的连续子段和的最大值。当所给的整数均为负数时和为0。

例如：-2,11,-4,13,-5,-2，和最大的子段为：11,-4,13。和为20。

Input

第1行：整数序列的长度N（2 <= N <= 50000)

第2 - N + 1行：N个整数（-10^9 <= Aii <= 10^9）

Output

输出最大子段和。

Sample Input

6

-2

11

-4

13

-5

-2

Sample Output

20

【dp思路】

1.定义状态

sum[i]表示以a[i]结尾的最大的子段和，ans表示最后要的结果

2.状态转移

sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i]);

ans=max{sum[1],sum[2]…sum
}

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn=50005;
long long a[maxn];

int main()
{
long long sum=0,ans=0;
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
for(int i=0;i<n;i++)
{
sum=max(sum+a[i],a[i]);
ans=max(ans,sum);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}

二、最长递增子序列https://vjudge.net/

给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列。(递增子序列是指，子序列的元素是递增的）

例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。

Input

第1行：1个数N，N为序列的长度(2 <= N <= 50000)

第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= Sii <= 10^9)

Output

输出最长递增子序列的长度。

Sample Input

8

5

1

6

8

2

4

5

10

Sample Output

5

【dp思路】

1.定义状态

dp[i]表示以a[i]结束的最长递增子序列的长度

2.状态转移

dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);

超时代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn=50005;
long long a[maxn];
int dp[maxn];

int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
for(int i=0;i<n;i++)
{
dp[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(a[j]<a[i])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
int maxlength=0;
for(int i=0;i<n;i++)
maxlength=max(dp[i],maxlength);
cout<<maxlength<<endl;
return 0;
}

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn=50005;
long long a[maxn];
long long int dp[maxn];

int bin_search(int l,int r,long long a[],long long int v)
{
int mid;
while(l<r)
{
mid=l+(r-l)/2;
if(a[mid]<v)l=mid+1;
else r=mid;
}
return l;
}

int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];

int len=1;
dp[0]=a[0];
for(int i=0;i<n;i++)
{
int pos=bin_search(0,len,dp,a[i]);
dp[pos]=a[i];
if(pos>=len)len++;
}
cout<<len<<endl;
return 0;
}

三、最长公共子序列长度及回溯打印51Nod - 1006

给出两个字符串A B，求A与B的最长公共子序列（子序列不要求是连续的）。

比如两个串为：

abcicba

abdkscab

ab是两个串的子序列，abc也是，abca也是，其中abca是这两个字符串最长的子序列。

Input

第1行：字符串A

第2行：字符串B

(A,B的长度 <= 1000)

Output

输出最长的子序列，如果有多个，随意输出1个。

Sample Input

abcicba

abdkscab

Sample Output

abca

【dp思路】

1.定义状态

dp[i][j]表示字符串1的前i项和字符串的前j项的最长公共子序列的长度

2.状态转移

if(str1[i]==str2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int maxn=1005;
char str1[maxn],str2[max
4000
n];
int dp[maxn][maxn];

int main()
{

while(cin>>str1>>str2)
{
int len1,len2;
int ans=0;
char str[maxn];
int k=maxn-2;
str[maxn-1]='\0';
len1=strlen(str1);
len2=strlen(str2);
for(int i=0;i<len1;i++)dp[i][0]=0;
for(int i=0;i<len2;i++)dp[0][i]=0;
for(int i=1;i<=len1;i++)
{
for(int j=1;j<=len2;j++)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1])
{
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else
{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
//cout<<dp[len1][len2]<<endl;

//回溯寻找打印公共子串

int i=len1,j=len2;
while(i>0 && j>0)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1])
{
str[k--]=str1[i-1];
i--;
j--;
}
else if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1])
{
i--;
}
else
{
j--;
}
}
cout<<str+k+1<<endl;
}
return 0;
}

【补充最长公共子串长度算法】

公共子串必须是连续的，这点不同于公共子序列（可以不连续）

1.定义状态

dp[i][j]表示以字符串1的第i项（i不是下标，是编号）和字符串2的第j项（j不是下标，是编号）结束的最长公共子串的长度

2.状态转移

if(str1[i]==str2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

else dp[i][j]=0;

核心代码：

for(int i=0;i<len1;i++)dp[i][0]=0;
for(int i=0;i<len2;i++)dp[0][i]=0;
for(int i=1;i<=len1;i++)
{
for(int j=1;j<=len2;j++)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1])
{
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else
{
dp[i][j]=0;
}
}
}

给出如下实例代码（可打印出来）：

#include<cstdio>
#include<cstring>

const int maxn=1000;
int dp[maxn+1][maxn+1];
char str1[maxn+1],str2[maxn+1];
char path[maxn+1][maxn+1];

//打印公共子串
void print_common_str(int i,int j){
if(i==0 || j==0 || path[i][j]=='n')
return;
if(path[i][j]=='y'){
print_common_str(i-1,j-1);
putchar(str1[i-1]);
}
}

int main()
{
scanf("%s%s",str1,str2);
for(int i=0;i<strlen(str1);i++) dp[i][0]=0;
for(int i=0;i<strlen(str2);i++) dp[0][i]=0;
for(int i=1;i<=strlen(str1);i++){
for(int j=1;j<=strlen(str2);j++){
if(str1[i-1]==str2[j-1]){
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
path[i][j]='y';
}
else{
dp[i][j]=0;
path[i][j]='n';
}
}
}
int ans=0;
int indexi=0,indexj=0;
for(int i=1;i<=strlen(str1);i++){
for(int j=1;j<=strlen(str2);j++){
if(ans<dp[i][j]){
ans=dp[i][j];
indexi=i;
indexj=j;
}
}
}
printf("%d\n",ans);
print_common_str(indexi,indexj);
return 0;
}