Luogu1967 [NOIP2013] 货车运输 解题报告【Kruskal】【LCA】【倍增】

题目描述

A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为 truck.in。

输入文件第一行有两个用一个空格隔开的整数n，m，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。接下来 m 行每行 3 个整数 x、y、z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意： x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路。

接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。

接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意：x不等于y。

输出格式：

输出文件名为 truck.out。

输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。

输入输出样例

输入样例#1：

4 3

1 2 4

2 3 3

3 1 1

3

1 3

1 4

1 3

输出样例#1：

3

-1

3

说明

对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q< 1,000；

对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q< 1,000；

对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q< 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。

解题报告：

这道题我们要明确几个事实：

1.所谓货车的最大载货量肯定是这个货车在一条确定的路径上跑路的时候，他所走的这条路径上边权最小的边决定的；

2.要让其最大载货量最大，肯定希望货车在最大生成树上跑路；

3.输出-1的情况其实就是两个点不在同一棵树上；

4.树上两点(u,v)间最短路径就是u->lca(u,v)->v；

代码如下：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const int N=10000;
const int M=50000;
const int P=16;
int n,m,q,cnt,tot;
int deep[N+5],head[N+5],father[N+5],anc[N+5][P+1],d[N+5][P+1];
bool vis[N+5];
struct edge
{
int u,v,w;
}a[M+5];
struct e
{
int v,w,next;
}ed[2*N+5];
void build(int u,int v,int w)
{
ed[++cnt].v=v;
ed[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
ed[cnt].w=w;
}
int find(int x)
{
return father[x]==x?x:father[x]=find(father[x]);
}
bool cmp(edge a,edge b)
{
return a.w>b.w;
}
void dfs(int u)
{
vis[u]=1;
for(int i=1;i<=P;i++)
{
if(deep[u]<(1<<i))break;
anc[u][i]=anc[anc[u][i-1]][i-1];
d[u][i]=min(d[u][i-1],d[anc[u][i-1]][i-1]);//d数组存储u这个点往上走2^i步这个路径中最小的边权
}
for(int i=head[u];i!=-1;i=ed[i].next)
{
int v=ed[i].v;
if(vis[v])continue;
anc[v][0]=u;
d[v][0]=ed[i].w;
deep[v]=deep[u]+1;
dfs(v);
}
}
int lca(int u,int v)
{
if(deep[u]<deep[v])swap(u,v);
int t=deep[u]-deep[v];
for(int i=0;i<=P;i++)
if((1<<i)&t)u=anc[u][i];
for(int i=P;i>=0;i--)
{
if(anc[u][i]!=anc[v][i])
{
u=anc[u][i];
v=anc[v][i];
}
}
if(u==v)return u;
return anc[u][0];
}
int query(int u,int f)
{
int vmin=inf;
int t=deep[u]-deep[f];
for(int i=0;i<=P;i++)
{
if(t&(1<<i))
{
vmin=min(vmin,d[u][i]);
u=anc[u][i];
}
}
return vmin;
}
int main()
{
memset(d,127/3,sizeof(d));
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)father[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
sort(a+1,a+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++)//最大生成树(Kruskal)
{
int u=a[i].u,v=a[i].v;
int p=find(u),q=find(v);
if(p!=q)
{
father[p]=q;
build(u,v,a[i].w);
build(v,u,a[i].w);
tot++;
if(tot==n-1)break;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])dfs(i);
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
if(find(u)!=find(v)){printf("-1\n");continue;}//不在一棵树里，不连通
else
{
int t=lca(u,v);
printf("%d\n",min(query(u,t),query(v,t)));//最大载荷肯定是u->lca(u,v)->v这条路上边权最小的那个
}
}
return 0;
}