动态规划专题之最长上升子序列

专题二：最长上升子序列
/*
Name: 动态规划专题之最长上升子序列
Author: 巧若拙
Description: 1759_最长上升子序列
描述：一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出：最长上升子序列的长度
样例输入:
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
4
*/
#include<iostream>
using namespace std;

const int MAX = 1001;
int A[MAX];
int S1[MAX]; //记录到元素i为止的最长上升子序列的长度
int S2[MAX]; //记录到元素i为止的最长上升子序列的长度
int S3[MAX+1]; //记录最长上升子序列，下标从1开始

int DP_1(int n); //逆序处理，返回最长上升子序列第一个元素的下标
int DP_2(int n); //顺序处理
int DP_3(int n); //顺序处理，二分插入
int Pos(int low, int high, int x);//二分查找，返回第一个比x大的元素下标

int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i=0; i<n; i++)
{
cin >> A[i];
}

int pos = DP_1(n);//逆序处理
cout << S1[pos] << endl;
cout << DP_2(n) << endl;//顺序处理
cout << DP_3(n) << endl;//顺序处理，二分插入

return 0;
}

算法1：逆序处理，需要用到全局变量A[MAX]，另有S1[MAX]初始化为0。
int DP_1(int n) //逆序搜索，返回最长上升子序列第一个元素的下标
{
int pos = n - 1;

for (int i=n-1; i>=0; i--)
{
int len = 0;
for (int j=i+1; j<n; j++)
{
if (A[j] > A[i] && S1[j] > len)
len = S1[j];
}
S1[i] = len + 1;

if (S1[i] > S1[pos])
pos = i;
}

return pos;
}

问题1：根据样例输入:1 7 3 5 9 4 8，写出对应数组S1[]的值。
问题2：修改DP_1()，使其返回最长上升子序列的长度。
问题3：DP_1()返回的不是最长上升子序列的长度，而是其第一个元素的下标，目的是为了输出该最长上升子序列，请在DP_1()的基础上，编写一段代码，输出该最长上升子序列。

参考答案：
问题1：数组S1[]的值为：4 2 3 2 1 2 1。
问题2：代码如下：
int DP_1(int n) //逆序搜索，返回最长上升子序列长度
{
int maxLen = 0; //记录最长上升子序列的长度

for (int i=n-1; i>=0; i--)
{
for (int j=i+1; j<n; j++)//在A[i]后面的元素中查找最大的S1[j]
{
if (A[j] > A[i] && S1[j] > S1[i])
S1[i] = S1[j];
}
S1[i]++;
if (maxLen < S1[i])
maxLen = S1[i];
}

return maxLen;
}
问题3：代码如下：
int pos = DP_1(n);
int len = S1[pos]; //子序列的长度
for (int i=pos; len>0; i++) //总共输出len个元素
{
if (S1[i] == len)
{
cout << A[i] << " ";
len--;
}
}
cout << endl;

算法2：顺序处理，需要用到全局变量A[MAX]，另有S2[MAX]初始化为0。
int DP_2(int n) //顺序搜索
{
int maxLen = 0;

for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=i-1; j>=0; j--) //语句1
{
if (A[i] > A[j] && S2[j] > S2[i])
S2[i] = S2[j];
}
S2[i]++;
if (maxLen < S2[i])
maxLen = S2[i];
}

return maxLen;
}

问题1：根据样例输入:1 7 3 5 9 4 8，写出对应数组S2[]的值。
问题2：语句1能否改为：for (int j=0; j<i; j++) ？哪种写法效率更高？
问题3：语句1所在循环体能否改写为：
for (int j=i-1; j>=0; j--)
{
if (A[i] > A[j])
{
S2[i] = S2[j] + 1;
break;
}
}
如果不行，请给出一个样例输入进行说明。
问题4：若把题目改为：求出最长不下降子序列的长度。该如何修改DP_2的代码？

参考答案：
问题1：数组S2[]的值为：1 2 2 3 4 3 4。
问题2：可以。因为语句1所在循环体的作用是在A[0...i-1]中，找出一个比A[i]小且最长的上升子序列，故顺序查找和逆序查找均可。但是对于上升子序列来说，S2[j]的值是递增的，逆序查找能更快地找到最大的S2[j]，故语句1的写法效率更高。
问题3：不行。因为可能存在多个上升子序列，不能只找到一个就结束搜索，一定要完全搜索。样例输入：1 3 4 2 5 。正确答案为4，如果采用问题3的代码，则得到错误答案为3。
问题4：把语句if (A[i] > A[j] && S2[j] > S2[i])改为if (A[i] >= A[j] && S2[j] > S2[i])即可。

算法3：顺序处理，二分插入，需要用到全局变量A[MAX]，另有S3[MAX]初始化为0。
int DP_3(int n) //顺序搜索，二分插入
{
int m = 0; //记录最长不下降子序列的长度

S3[++m] = A[0];
for (int i=1; i<n; i++)
{
if (A[i] > S3[m])
{
S3[++m] = A[i];
}
else
{
S3[Pos(1, m-1, A[i])] = A[i];  //语句1
}
}

return m;
}

int Pos(int low, int high, int x)//二分查找，返回第一个比x大的元素下标
{
int mid;

while (low <= high)
{
mid = (low + high)/2;
if (S3[mid] > x)
{
high =   //语句2
}
else
{
low =   //语句3
}
}

return   //语句4
}

问题1：根据样例输入:1 7 3 5 9 4 8，写出对应数组S3[]的值。
问题2：语句1能否改为：S3[Pos(0, m, A[i])] = A[i];？为什么？
问题3：将语句2，语句3和语句4补充完整。

参考答案：
问题1：数组S3[]的值为：1 3 4 8。
问题2：不能。因为数组S3的下标从1开始，故不能写作S3[Pos(0, m, A[i])] = A[i];虽然可以写作S3[Pos(1, m, A[i])] = A[i];但是因为我们已经知道A[i] > S3[m]，故在S[1...m-1]中二分查找第一个比x大的元素下标即可，因此语句1的写法更好。
问题3：语句2：high = mid - 1; 语句3：low = mid + 1; 语句4：return low;

课后练习：
练习1：1044_拦截导弹  1999年NOIP全国联赛提高组
题目描述：某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入描述 Input Description
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数）
输出描述 Output Description
输出这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
样例输入 Sample Input
389 207 155 300 299 170 158 65
样例输出 Sample Output
6(最多拦截导弹数)
2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）

数据范围及提示 Data Size & Hint
导弹的高度<=30000，导弹个数<=20

练习2：3532_最大上升子序列和
描述：一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ...,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中序列和最大为18，为子序列(1, 3, 5, 9)的和.
你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100, 1, 2, 3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1, 2, 3)
输入
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000（可能重复）。
输出
最大上升子序列和
样例输入
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
18

练习3：4977_怪盗基德的滑翔翼
描述：怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。
请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部（包含初始时的建筑）？
输入
输入数据第一行是一个整数K（K < 100），代表有K组测试数据。
每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N(N < 100)，代表有N幢建筑。
第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h（0 < h < 10000），按照建筑的排列顺序给出。
输出
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。
样例输入
3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
样例输出
6
6
9

练习4：电路布线
【问题描述】在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线（i，π(i)）将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连。
其中，π(i)，1<=i<=n是{1，2，…，n}的一个排列。导线（i，π(i)）称为该电路板上的第i条连线。对于任何1<=i π(j)。
在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。
你的任务是要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。
换句话说，就是确定导线集Nets={ i，π(i)，1<=i<=n}的最大不相交子集。
【输入形式】
输入文件第一行为整数n；第二行为用一个空格隔开的n个整数，表示π(i)。
【输出形式】
输出文件第一行为最多的连线数m，第2行到第m+1行输出这m条连线（i，π(i)）。
【输入样例】
10
1 8
2 7
3 4
4 2
5 5
6 1
7 9
8 3
9 10
10 6
【输出样例】
4

练习5：友好城市
【问题描述】 Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。
编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。
【输入格式】
　　第1行，一个整数N(1<=N<=5000)，表示城市数。
　　第2行到第n+1行，每行两个整数，中间用1个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。(0<=xi<=10000)
【输出格式】
　　仅一行，输出一个整数，政府所能批准的最多申请数。
【输入样例】
　　7
　　22 4
　　2 6
　　10 3
　　15 12
　　9 8
　　17 17
　　4 2
【输出样例】
4

练习6：1058_合唱队形  2004年NOIP全国联赛提高组
描述：N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入描述 Input Description
输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，
第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。
输出描述 Output Description
输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
样例输入 Sample Input
8
186 186 150 200 160 130 197 220
样例输出 Sample Output
4

练习7：1996_登山
描述：五一到了，PKU-ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一个有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？
输入
Line 1： N (2 <= N <= 1000) 景点数
Line 2： N个整数，每个景点的海拔
输出
最多能浏览的景点数
样例输入
8
186 186 150 200 160 130 197 220
样例输出
4