特征值和特征向量之学习笔记
2017-08-08 22:34
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一、结论
首先明确一点:特征值和特征向量是相对于矩阵而言的,对于公式Ax=λx,称λ为矩阵A的特征值,x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量(特征向量不能为零向量)。
然后给出两个定理:
(1)任意一个n阶方阵,在复域均存在n个特征值和特征向量(在实域不一定,可能一个也没有);
(2)任意一个n阶对称阵,在实域内存在n个特征值和特征向量;
二、方法
1.
求特征值
det(λE-A)=0
利用(λE-A)的行列式的值等于0的方法求取特征值λ,λ可能有重根;
例如矩阵A如下:
1 1
0 1
det(λE-A)=0
=>
(λ-1)*(λ-1)=0 =>
λ=1 (重根)
2.
求特征向量
Ax=λx =>
(λE-A)x=O =>
例如矩阵A如下:
1 1
0 1
通过 det(λE-A)=0
得到特征值 λ=1 (重根),将 λ=1带入(λE-A)x=O,得:x2=0,特征向量为[a,
0],该特征向量表示该矩阵的主方向。
未完待续……
首先明确一点:特征值和特征向量是相对于矩阵而言的,对于公式Ax=λx,称λ为矩阵A的特征值,x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量(特征向量不能为零向量)。
然后给出两个定理:
(1)任意一个n阶方阵,在复域均存在n个特征值和特征向量(在实域不一定,可能一个也没有);
(2)任意一个n阶对称阵,在实域内存在n个特征值和特征向量;
二、方法
1.
求特征值
det(λE-A)=0
利用(λE-A)的行列式的值等于0的方法求取特征值λ,λ可能有重根;
例如矩阵A如下:
1 1
0 1
det(λE-A)=0
=>
(λ-1)*(λ-1)=0 =>
λ=1 (重根)
2.
求特征向量
Ax=λx =>
(λE-A)x=O =>
例如矩阵A如下:
1 1
0 1
通过 det(λE-A)=0
得到特征值 λ=1 (重根),将 λ=1带入(λE-A)x=O,得:x2=0,特征向量为[a,
0],该特征向量表示该矩阵的主方向。
未完待续……
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