高数Umaru系列（9）——哈士奇(01背包，经典练习)

高数Umaru系列（9）——哈士奇

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Problem Description

由于高数巨养的喵星人太傲娇了，要天天吃新鲜猫粮而且还经常欺负高数巨，所以高数巨决定买几条哈士奇尝尝鲜。这天高数巨来到了二手狗市场买哈士奇，高数巨看完了所有的哈士奇，记下了每条哈士奇的价格，并根据对它们的好感程度给它们每只都赋予了一个萌值。高数现在手里有X元，她想通过购买若干条哈士奇来获得尽可能多的萌值。现在给定高数巨手里的钱X以及N条哈士奇的价格和萌值，求高数巨最多可获得多少萌值

Input

多组输入。

对于每组输入，第一行有两个整数N，X（1 < = N < = 100，1 < = X < = 1000），分别表示哈士奇的数量和高数巨的钱数

接下来的N行每行有两个整数Pi，Mi（1 < = Pi,Mi < = 100），分别表示第i条哈士奇的价格和萌值

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示高数巨最多可以获得的萌值，每组输出占一行

Example Input

2 100

50 20

60 40

3 100

20 55

20 35

90 95

1 10

20 50

Example Output

40

95

0

Hint

Author

Shannon

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承受能力为j的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

对于这个状态转移方程来说，通俗易懂的暴力解释就是，现在有一个价格为2的物品，你手里有一个承受能力为8的背包，并且已经装满了，那么我怎么知道此摆在我面前的价格为2的物品能不能增加我的背包内的价值呢？

很简单，这个时候我们就应该找到，当前背包重量减去2时，也就是8-2 = 6时的最大价值，看看加上眼前物品是否比原来大，大就装上，不大就放弃。（可能现在不太理解，后面还会提到）

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五只哈士奇，它们的价格分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承受能力为10的背包，如何让背包里装入的哈士奇具有最大的价值总和？



只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算基本理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承受能力为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承受能力为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承受能力为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

f[i-1,j]表示我有一个承受能力为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]也就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承受能力为8的背包

这个时候我们再来回头看上面状态转移方程的暴力解释

f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

对于这个状态转移方程来说，通俗易懂的暴力解释就是，现在有一个价格为2的物品，你手里有一个承受能力为8的背包，并且已经装满了，那么我怎么知道此摆在我面前的价格为2的物品能不能增加我的背包内的价值呢？

很简单，这个时候我们就应该找到，当前背包重量减去2时，也就是8-2 = 6时的最大价值，看看加上眼前物品是否比原来大，大就装上，不大就放弃

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
int p, m;
int i, j, n, x;
while(cin>>n>>x)
{
int f[1001][1001] = {0};
for(i = 1; i <= n; i++)
{
cin>>p>>m;
for(j = 0; j <= x; j++)
{
f[i][j] = (i == 1? 0:f[i-1][j]);
if(j >= p)
{
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-p]+m);
}
}
}
cout<<f
[x]<<endl;
}
return 0;
}