01背包问题和完全背包问题 （转载）

*原链接：

http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/38864689*

01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

看到这个问题，可能会想到贪心算法，但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题，要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解，这样就不用重复解决子问题了。

动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组f[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。

这就得出了状态转移方程：

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。

可以写出代码测试：

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=1; j<=M; j++)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
else
f[i][j]=f[i-1][j];
}

cout<<f
[M]<<endl;//输出最优解

}

在hihocoder上面还讲到可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。

再进一步思考，计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M……1，只使用一个一维数组即可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

[cpp] view plain copy

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=M; j>=1; j--)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
}
}

cout<<f[M]<<endl;//输出最优解

}

在看完01背包问题，再来看完全背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

对比一下，看到的区别是，完全背包问题中，物品有无限多件。往背包里面添加物品时，只要当前背包没装满，可以一直添加。那么状态转移方程为：

f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]

使用内存为一维数组，伪代码

for i=1……N

for j=1……M

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

和01背包问题唯一不同的是j是从1到M。01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题（i种物品），向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品），向i种物品时的背包添加第i种物品。

代码如下：

[cpp] view plain copy

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=1; j<=M; j++)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
}
}

cout<<f[M]<<endl;//输出最优解

}

**原链接：

http://blog.csdn.net/LYHVOYAGE/article/details/8545852**

01 背包

有n 种不同的物品，每个物品有两个属性，size 体积，value 价值，现在给一个容量为 w 的背包，问最多可带走多少价值的物品。

int f[w+1];   //f[x] 表示背包容量为x 时的最大价值

for (int i=0; i<n; i++)

for (int j=w; j>=size[i]; j--)

f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

完全背包

如果物品不计件数，就是每个物品不只一件的话，稍微改下即可

for (int i=0; i<n; i++)

for (int j=size[i]; j<=w; j++)

f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

f[w] 即为所求
初始化分两种情况：
1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;

2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;

多重背包：

多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求可得到的最大价值

多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释

比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数

15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字

如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

看代码：

int n;  //输入有多少种物品
int c;  //每种物品有多少件
int v;  //每种物品的价值
int s;  //每种物品的尺寸
int count = 0; //分解后可得到多少种物品
int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值
int size[MAX];  //用来保存分解后物品体积

scanf("%d", &n);    //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解

**while (n--)     //接下来输入n中这个物品
{
scanf("%d%d%d", &c, &s, &v);  //输入每种物品的数目和价值
for (int k=1; k<=c; k<<=1)   //<<右移 相当于乘二
{
value[count] = k*v;
size[count++] = k*s;
c -= k;
}
if (c > 0)
{
value[count] = c*v;
size[count++] = c*s;
}
}**