莫比乌斯入门--HYSBZ - 2818

   给定一个整数n，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

  首先我们可以设f(d)为d=gcd(x,y)满足的对数。

  设F(d)为d|gcd(x,y)满足的对数。

可知，x,y,都要能被d整除，所以有：F(d)=⌊nd⌋∗⌊nd⌋

根据莫比乌斯反演公式可知：f(x)=∑x|dμ(dx)F(d)

由于 Gcd(x,y)为素数，所以：ans=∑p∑p|dμ(dp)F(d)

所以：ans=∑d⌊nd⌋∗⌊nd⌋∗∑p|dμ(dp)

所以我们需要预处理∑p|dμ(dp)，设sum(d)=∑p|dμ(dp)

由于 对任意正整数

有

  

                           


μ(d

所以

当p|dp能整除d时：sum(d∗p)=μ(d)。

当p不能整除d时：sum(d∗p)=μ(d)−sum(d)

代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <bitset>
#define siz 10000005

using namespace std;
typedef long long LL;
int prime[siz],mu[siz],sum[siz];
bool check[siz];
int n;
void Mobius(){
mu[1] = 1;
prime[0] = 0;
for(int i=2;i<siz;i++){
if(!check[i]){
mu[i] = -1;
sum[i] = 1;
prime[++prime[0]] = i;
}
for(int j=1;j<=prime[0];j++){
if(i*prime[j] >= siz) break;
check[i*prime[j]] = true;
if(i%prime[j]){
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
sum[i*prime[j]] = mu[i] - sum[i];
}
else{
mu[i*prime[j]] = 0;
sum[i*prime[j]] = mu[i];
break;
}
}
}
}
void Solve(int n)
{
LL ans = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans += 1LL*(n/i)*(n/i)*sum[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
Mobius();
scanf("%d",&n);
Solve(n);
return 0;
}