01背包跟完全背包问题

01背包是指有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。这种问题不像贪心，是不能分割的，因为刚做完一道可以分割的，所以想来整理一下区别 L2-003月饼 这是一道可以分割的，用的是贪心算法

f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量j的背包时，

它有两种情况：

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][j]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][j-c[i]]+w[i]

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量j-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=1; j<=M; j++)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
else
f[i][j]=f[i-1][j];
}

cout<<f
[M]<<endl;//输出最优解

}

这里i是从1->N,j是从1->M
当数组变成一维数组呢，进行优化

for i=1……N

for j=M……1
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=M; j>=1; j--)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
}
}

cout<<f[M]<<endl;//输出最优解

}

完全背包是指一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

这样相对于01背包问题，这个问题在于每个物品有无限多件

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

和01背包问题唯一不同的是j是从1到M。01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题（i种物品），向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品），向i种物品时的背包添加第i种物品

#include<iostream>
using namespace std;
#define V 1500
unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

int N,M;
cin>>N;//物品个数
cin>>M;//背包容量
for (int i=1;i<=N; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}
for (int i=1; i<=N; i++)
for (int j=1; j<=M; j++)
{
if (weight[i]<=j)
{
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
}
}

cout<<f[M]<<endl;//输出最优解

}
想必大家看出了和01背包的区别，这里的内循环是顺序的，而01背包是逆序的。
现在关键的是考虑：为何完全背包可以这么写？
在次我们先来回忆下，01背包逆序的原因？是为了是max中的两项是前一状态值，这就对了。
那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，为何？
因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，f[j]表示容量为j在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。