[bzoj1061][线性规划][单纯形][Noi2008]志愿者招募]

1061: [Noi2008]志愿者招募

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Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3

2 3 4

1 2 2

2 3 5

3 3 2

Sample Output

14

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

Source

sol:(摘录了若干不知出处的讲义，如需注明出处请联系我。

线性规划裸题，具体操作可以用单纯性理论来解释。(我不懂

具体的是先得到一个很裸的线性规划方程，通常是Min(D)，以及若干个约束条件，然后我们将其对偶得到Max(P)，然后改写成松弛形，再使用单纯形法

根据题目很容易可以得到线性规划方程(以样例为例)：

Min(2*x1+5*x2+2*x3)

x1+ 0+ 0>=2

x1+x2+ 0>=3

0+x2+x3>=4

x1,x2,x3>=0

再将方程对偶，得到：

Max(2*x1+3*x2+4*x3)

x1+x2+ 0<=2

0+x2+x3<=5

0+ 0+x3<=2

x1,x2,x3>=0

这就是线性规划的标准型了。

为了方便单纯型算法，加入变量x4,x5,x6:

Max(2*x1+3*x2+4*x3)

x4+x1+x2+ 0=2

x5+ 0+x2+x3=5

x6+ 0+ 0+x3=2

x1,x2,x3,x4,x5,x6>=0

这就是松弛型。显然此时最优解不变。

将松弛型写成矩阵的形式：

@ x1 x2 x3

x4 1 1 0 2

x5 0 1 1 5

x6 0 1 1 2

@ 2 3 4 0(k)

当x1,x2,x3取0时，显然满足条件，此时答案为右下角的常数k

我们只需不断增大k，当k达到最大值时最优解就是k了。

那么怎么增大k呢？显然如果我们增大x1，答案会更优。

但x1不能无限制地增大，对于前3个方程，我们得到x1的限制：

1、x1<=2

2、x1无限制

3、x1无限制

我们选择最紧的一个限制1，将x1增大到它，再交换x1,x4。

交换之后再将某些系数改变，使其满足方程就可以了。

于是我们可以不断交换，直到矩阵最后一行的系数都不为正就可以了。最优解就是k。

(为啥网上的都说simplex是指数级的，我矩阵开的这么大没有T飞啊。话说要怎么优化稀疏矩阵啊。GG思密达

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
inline int read()
{
char c;
int res,flag=0;
while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-')flag=1;
res=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';
return flag?-res:res;
}
const int N=1005;
const int M=10005;
const int INF=1e9;
const double eps=1e-6;
double a[M]
,b[M],c
,v;
void pivot(int l,int e)//转轴操作
{
b[l]/=a[l][e];//可以当高斯消元来理解，但这个只交换数的位置。
for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) a[l][j]/=a[l][e];
a[l][e]=1/a[l][e];
for(int i=1;i<=m;i++)
if(i!=l&&fabs(a[i][e])>0)
{
b[i]-=a[i][e]*b[l];
for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j];
a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e];
}
v+=c[e]*b[l];
for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) c[j]-=c[e]*a[l][j];
c[e]=-c[e]*a[l][e];
}//为什么会有这么迷的算法啊QAQ
double simplex()
{
while(true)
{
int e=0,l=0;
for(e=1;e<=n;e++) if(c[e]>eps) break;//选出一个下标最小的为正的
if(e==n+1) return v;
double save=INF;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(a[i][e]>eps&&save>b[i]/a[i][e]) save=b[i]/a[i][e],l=i;//如果有更加紧的限制就换一个
if(save==INF) return INF;
pivot(l,e);
}
}
int main()
{
n=read();m=read();//稍微注意一下，这里的线性规划的矩阵已经对偶了
for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int s=read();
int t=read();
for(int j=s;j<=t;j++) a[i][j]=1;
b[i]=read();
}
printf("%d",(int)(simplex()+0.5));
}