居家、旅行必备的“三倍角正切公式”

以前不需要认证的时候同时还经营另一个CSDN博客，其定位跟这个不同，所以门类分得比较仔细。现在同一个 手机号码只能认证一个，所以，另外一个就暂时荒废了。不过现在申请新号码容易，几乎0成本，有空的话我会试试添酒回灯重开宴。

不料，又看到有人在某论坛上“挖坟”，弄出一道旧的平面几何竞赛类的试题。这类题比较“难”，其实从顾森博客中提到过的史上最难的平面几何题的插图的比对就容易发现，它们画法相似，只不过已知的角度和要求的结果稍微不同而已。

代数与几何方法结合

突然发现，用“三倍角的正切公式”可以比现有各种证法更轻松地秒杀，所以就来列举一下，希望这个公式能够引起有心人的重视。

在另外一个博客上，三倍角正切公式还解决过有些相似难度的平面几何证明类的问题。这个问题几乎不需要额外的描述，看图就是：



证明: ∠2=3⋅∠1

这个三角形 ABC 是直角三角形，但却不一定是等腰，之所以画得容易产生错觉，其实是因为在近似于等腰直角的这个情况下，关于角和点的标记从示意图中看起来更加清晰。

如果知道了三倍角正切公式：

tan3θ=tanθ⋅tan(60o+θ)⋅tan(60o−θ)

其实可以让∠1=θ，直接从图中找对应于： tan∠2、 tanθ、 tan(60o+θ)、 以及tan(60o−θ)这四个正切的比值，容易发现：

tanθ=tan∠1tan(60o+θ)=tan∠CDAtan(60o−θ)=tan∠BCA=AEAB=ACAD=ABAC⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒

⇒tan3θ=tanθ⋅tan(60o+θ)⋅tan(60o−θ)=

=AEAB⋅ACAD⋅ABAC=AEAD=tan∠EDA=tan∠2,



∴tan∠2=tan(3∠1)

加上两个角满足三角形内角关系决定的取值范围 ：

0<∠1<300, 0<∠2<900，

所以得证：

∠2=3∠1

几何证明方法对比

几何的证明方法中，看到网友有一个不太繁琐的方法（因为还有比这繁琐的），我把所有涉及到的“辅助线”都画了一下，复杂程度一目了然：





思路是先做FG=FE 平分 ∠BFC， 则由已知角度可以标注出以 F 为顶点的所有角的度数。也能证明如下全等三角形：

ΔBFG≅ΔCFE, ΔDFG≅ΔDFE 从而 ∠DBG=30°， DG=DE⇒∠DEB=∠DGF=∠DOE=∠DOF

由 ΔDFG 外接圆，找到交点 O, 同弧上两个圆周角都是 60° 从而得到 ΔODG 是等边的。以及以 O为圆心、OD为半径的元经过 B, 从而 2∠ABE=∠DOE=∠DEB 、 从而 ∠2=3∠1

如何评价难度？复杂度？

距离基本概念、常识、可以轻易拿来的定理或结论到底有多远、多少步？每一个步骤的难度（发散程度？）？