HDU 6078 Wavel Sequence【dp递推】【好题】【思维题】

4000

Wavel Sequence

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Problem Description

Have you ever seen the wave? It's a wonderful view of nature. Little Q is attracted to such wonderful thing, he even likes everything that looks like wave. Formally, he defines a sequence a1,a2,...,an as
''wavel'' if and only if a1<a2>a3<a4>a5<a6...



Picture from Wikimedia Commons

Now given two sequences a1,a2,...,an and b1,b2,...,bm,
Little Q wants to find two sequences f1,f2,...,fk(1≤fi≤n,fi<fi+1) and g1,g2,...,gk(1≤gi≤m,gi<gi+1),
where afi=bgi always
holds and sequence af1,af2,...,afk is
''wavel''.

Moreover, Little Q is wondering how many such two sequences f and g he
can find. Please write a program to help him figure out the answer.

 

Input

The first line of the input contains an integer T(1≤T≤15),
denoting the number of test cases.

In each test case, there are 2 integers n,m(1≤n,m≤2000) in
the first line, denoting the length of a and b.

In the next line, there are n integers a1,a2,...,an(1≤ai≤2000),
denoting the sequence a.

Then in the next line, there are m integers b1,b2,...,bm(1≤bi≤2000),
denoting the sequence b.

 

Output

For each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer. Since the answer may be very large, please print the answer modulo 998244353.

 

Sample Input

1
3 5
1 5 3
4 1 1 5 3

 

Sample Output

10
Hint
(1)f=(1),g=(2).
(2)f=(1),g=(3).
(3)f=(2),g=(4).
(4)f=(3),g=(5).
(5)f=(1,2),g=(2,4).
(6)f=(1,2),g=(3,4).
(7)f=(1,3),g=(2,5).
(8)f=(1,3),g=(3,5).
(9)f=(1,2,3),g=(2,4,5).
(10)f=(1,2,3),g=(3,4,5).

 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 4

题意：给出一个有n（<=2000）个数字的序列 a(ai <=2000) 再给出一个有m（m<=2000）个数字的序列 b （bi<=2000） ，定义波浪序列为：x1<x2>x3<x4……（注意第一次必须是上升，不能是下降，也就是说第一项必须是波谷）。现在要求找到一个严格单调递增的序列 f：f1，f2，……fk。以及相对应的严格单调递增的序列g：g1，g2，……gk。（k>=1）使得每个a_fi
= b_gi，同时满足a_f1,a_f2,a_f3……a_fk为波浪序列。求不同的fg映射有多少种选取方式。

a，b中分别从前向后选取k个数字。然后相对应的 a 中选择的每个位置的数字要和 b 中选择的对应位次的数字相同。（当然如果a数组出现过x，而b没有出现过x，显然x不可能被选取），而 f 、g 则是相对应的下标。要满足选取出来的这个数字序列是一个波浪序列。显然波浪序列中的数字分成两种：波峰和波谷。

总体来说，这个题就是a、b数组之间的匹配问题，同时满足是一个波浪序列。

则：

dp[i][j][0]表示以a[i]和b[j]为公共序列结尾且为波谷的情况总和。 
dp[i][j][1]则表示波峰的情况总和。 

sum[i][j][0]表示sum(dp[k][j][0] | 1<=k<=i-1) 
sum[i][j][1]则表示sum(dp[k][j][1] | 1<=k<=i-1)    (相当于固定b[j]这个数字，然后将所有可能性加起来)

那么这个过程中只要不断判断这个数字其前面可能的情况(若其为波峰则判断其前可满足作为波谷的数量cnt0，反之亦然)，然后判断这个数字能不能加进这个波浪中不断记录结果即可。

注意因为第一次必须为上升，则表示第一个数字前为波峰所以cnt1=1，cnt0=0

这个题有两点值得借鉴：
1、动态规划递推过程中用波峰波谷作为状态转移的关键，然后进行递推

2、用sum来优化其前相加的结果，减少重复的相加运算。

以下是样例的递推过程，蓝色粗线代表程序执行过程，旁边的线代表当前所记录波浪的状态：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <map>
#include <cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;

const int maxn = 2e3 + 10;
const int mod = 998244353;

int n, m;
int a[maxn], b[maxn];
ll dp[maxn][2];		//原为dp[i][j][2] 表示a数组枚举到第i个，b数组枚举到第j个，dp[i][j][0]表示当前选的数为波谷，反之同理，因为只用到上一个i-1所以利用滚动数组将其省去
ll sum[maxn][2];	//原为sum[i][j][2]表示a数组枚举从1到第i个，b数组枚举到第j个波峰（sum[i][j][1]）或波谷（sum[i][j][0]）的和

int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
ll ans = 0;
scanf("%d%d", &n, &m);
ms(sum, 0);
ms(dp, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", a + i);
for (int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d", b + i);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
ll cnt1 = 1;	//最后一个是波峰的数量
ll cnt0 = 0;	//最后一个是波谷的数量
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
dp[j][0] = dp[j][1] = 0;
if (a[i] == b[j])	//【判断能否加进来】当相同时可以将当前的数作为 波峰（当前数做波峰则看其前面可作为他的波谷的数量cnt0）或波谷（其前cnt1种可能）时，前面所有可能的情况加到ans中
{
dp[j][0] = cnt1;
dp[j][1] = cnt0;
ans = (ans + cnt1 + cnt0) % mod;
}
else if (b[j] < a[i]) cnt0 = (cnt0 + sum[j][0]) % mod;	//说明当a[i]被选中时，前面的以b[j]结尾的可以作为波谷（所以将其记录到cnt0，又因为前面的作为波谷，所以为sum[j][0]）
else cnt1 = (cnt1 + sum[j][1]) % mod;	//反之亦然
}
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
if (b[j] == a[i])
{
sum[j][0] = (sum[j][0] + dp[j][0]) % mod;	//以数字b[j]作为谷底的所有可能加进去，方便下次统计，减少重复计算（dp的递推优化）
sum[j][1] = (sum[j][1] + dp[j][1]) % mod;	//同理
}
}
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}

可借鉴：点击打开链接的思路