单源最短路径:Dijkstra算法
2017-08-04 19:40
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单源最短路径:Dijkstra算法
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Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)是由荷兰计算机科学家Edsger Wybe Dijkstra提出,是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题
在带权有向图G=(V,A)中,假设每条弧A[i]的长度为w[i],找到由顶点V0到其余各点的最短路径。算法描述
算法思想
设G=(V,A)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点V0,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点V0到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点V0到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,源点V0到S中的点的距离dist[i]就是从源点V0到此顶点的最短路径长度,源点V0到U中的点的距离dist[i],是从V0到此顶点的,只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。算法过程
初始时,S只包含源点V0,即S={V0},V0距源点V0的距离为0。U包含除V0外的其他顶点。若U中某个顶点u是V0的出边邻接点,则V0到u的距离为V0到u的弧的弧长,若u不是V0的出边邻接点,则u到V0的距离为∞。将V0作为基点。在U中选出u0,使基点到u0的距离最小,将其加入S中。此时V0到u0的距离就是V0到u0的最短路径的长度。
以u0为基点,用从V0到u0的距离,对U中是u0的出边邻接点的所有点ux进行松弛操作,即如果源点V0经过u0到达ux的距离比原来记录的V0到ux的距离小,则用经过u0到达ux的距离更新V0到ux的距离。
重复2和3,直到所有顶点都在S中。
动画演示
(动画来源)
反证
是否存在另一条路径使得A到C的距离更小?用反证法证明:
假设存在如上图的红色虚线路径,使得A->D->C的距离更小,那么A->D作为A->D->C的一部分,其距离也比A->C小,这与
C是U中到V0距离最小的点相矛盾,故假设不成立。
根据上面的证明,我们可以推断出,Dijkstra算法每次循环都可以确定一个顶点的最短路径,故需要循环n-1次。
程序代码
/* FILE:dijkstra.cpp LANG:C++ */ #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int node_num = 100; //定义最大顶点数 const int INF = 2147483647; //定义无穷 int matrix[node_num][node_num]; //邻接矩阵 int dist[node_num]; //记录源点到各个顶点的距离 int path[node_num]; //记录前驱顶点 bool vis[node_num]; //标记顶点是否在集合S中 int v_num, a_num; //记录顶点数和弧的数量 void dijkstra(const int); int main() { cout << "v_num:"; cin >> v_num; cout << "a_num:"; cin >> a_num; for (int i = 0; i < v_num; ++i) { for (int j = 0; j < v_num; ++j) { matrix[i][j] = ((i != j) ? INF : 0); //初始化邻接矩阵 } } int u, v, w; for (int i = 0; i < a_num; ++i) { cin >> u >> v >> w; matrix[u][v] = matrix[v][u] = w; //示例为一个无向图 } int src; cout << "source:"; cin >> src; //输入源点 dijkstra(src); for (int i = 0; i < v_num; ++i) { if (i != src) { cout << src << "->" << i << ":" << dist[i] << ":" << i; int t = path[i]; while (t != src) { cout << "-" << t; t = path[t]; } cout << "-" << src << endl; //路径是按倒序输出的 } } return 0; } void dijkstra(const int src) { memset(vis, false, sizeof(vis)); //初始化集合S的标记 vis[src] = true; //源点进入集合S for (int i = 0; i < v_num; ++i) { dist[i] = matrix[src][i]; //初始化从源点到各点的距离 path[i] = src; //初始化前驱顶点 } int min_cost, min_cost_index; //记录源点到U中各个顶点距离的最小值和顶点编号 for (int i = 1; i < v_num; ++i) { min_cost = INF; for (int j = 0; j < v_num; ++j) //找距离的最小值和对应的点u0 { if (!vis[j] && dist[j] < min_cost) { min_cost = dist[j]; min_cost_index = j; } } vis[min_cost_index] = true; //u0进入集合S for (int j = 0; j < v_num; ++j) { if (!vis[j] && matrix[min_cost_index][j] != INF && min_cost + matrix[min_cost_index][j] < dist[j]) //如果U中顶点ux是u0的出边邻接点且源点经过u0到达ux的距离比原来记录的源点到ux的距离小 { dist[j] = min_cost + matrix[min_cost_index][j]; //执行松弛操作 path[j] = min_cost_index; //更新前驱顶点 } } } return; }
示例图:
运行结果:
参考
最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法单源最短路径(1):Dijkstra 算法
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