树状数组简介（洛谷P3368、P3374）

算法用途

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和。

虽然树状数组的用途可以完全被线段树所替代，而且线段树所能做的比树状数组多得多，但是树状数组的常数是远远小于线段树的。因此当你写线段树被卡常时可以试试使用树状数组。

而且树状数组的代码很短哦！

算法思想

开一个数组s，其中s[i]的值存的是a[i-lowbit(i)]~a[i]这段区间的和。然后进行一系列操作。

差不多是这样一个图（这里是c数组）：



像不像一棵树啊#（滑稽）

关于lowbit

lowbit是什么啊！看上去好高级的样子！

low:低，bit:比特（二进位制信息单位）（其实就是1啦） lowbit就是一个数在二进制中最低的1的位置。

举个栗子：5在2进制下为101，lowbit(5)=1。8在二进制下为1000，lowbit(8)=4。

那要怎么算lowbit(x)呢？

给段代码自己理解下

int lowbit(int x){
return x&(-x);
}

对，你没看错，就是这么简单！可能会补码和反码的同学已经看懂了，这里给一脸蒙圈的解释一下。

设x的二进制码为 1000101011，那么-x-1的二进制码就是把x的二进制码全反过来：0111010100，-x的二进制码就是：0111010101，x&(-x)=1，就是x的lowbit了。（不信的小伙伴可以自己试试）

单点修改区间求和

单点修改

当a[x]改变时，s[x]会改变，s[x+lowbit(x)]会改变，s[x+lowbit(x)+lowbit(x+lowbit(x))]也会改变······一直到x超过n才停止。

于是我们就可以尝试写出代码：

void nsrt(int x,int w){
while (x<=n){
s[x]+=w;
x+=lowbit(x);
}
}

区间求和

树状数组的区间求和运用到了前缀和的思想，求l~r的和即求1~r的和减去1~(l-1)的和。

那么1~x的和怎么求呢？

前面说过，s[x]存的是a[x-lowbit(x)]~a[x]的和，那么a[x-lowbit(x)]~a[x]的和我们是已知的，剩下就是求1~(x-lowbit(x))的和，这时s[x-lowbit(x)]又变成了已知，因此和单点修改一样，区间求和也是一个递归的过程，代码依然很短：

int srch(int x){
int sum=0;
while(x){
sum+=s[x];
x-=lowbit(x);
}
return sum;
}

模板

洛谷P3374

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 500000
using namespace std;
int s[MAXN+5];
int next;
int n,m;
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void nsrt(int x,int w){
while (x<=n){
s[x]+=w;
x+=lowbit(x);
}
}
int srch(int x){
int sum=0;
while(x){
sum+=s[x];
x-=lowbit(x);
}
return sum;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
nsrt(i,x);
}
for (int i=1;i<=m;i++){
int flag;
scanf("%d",&flag);
if (flag==1){
int x,k;
scanf("%d%d",&x,&k);
nsrt(x,k);
}
else{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",srch(y)-srch(x-1));
}
}
return 0;
} 

区间修改区间求和

百度上说区间修改时只能求单点值，但是貌似区间也是可以的。。。

因为博主比较懒中间过程比较烦，这里博主就不写了，

引用一下某大佬的blog

模板：

洛谷P3368

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 500000
using namespace std;
int s[MAXN+5][3];
int n,m;
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void nsrt(int l,int r,int w){
int x;
r++;
x=l;
while (x<=n){
s[x][1]+=w;
s[x][2]+=w*(l-1);
x+=lowbit(x);
}
x=r;
while (x<=n){
s[x][1]-=w;
s[x][2]-=w*(r-1);
x+=lowbit(x);
}
}
int srch(int x){
int now=x,sum=0;
while (now){
sum+=x*s[now][1]-s[now][2];
now-=lowbit(now);
}
return sum;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
nsrt(i,i,x);
}
for (int i=1;i<=m;i++){
int flag;
scanf("%d",&flag);
if (flag==1){
int x,y,k;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
nsrt(x,y,k);
}
else{
int x;
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",srch(x)-srch(x-1));
}
}
return 0;
}

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