BZOJ 2038 莫队 解题报告

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……

具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。

你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

Sample Output

2/5

0/1

1/1

4/15

【解题报告】

来自http://blog.csdn.net/w4149/article/details/74531466

没有办法找到区间合并的方法，只好暴力了，这里用莫队算法。

如果我们已知[l,r]的答案，就能在O(1)时间得到[l+1,r]的答案以及[l,r-1]的答案，所以如果已知[l,r]的答案，要求[l’,r’]的答案，我们可以通过|l – l’|+|r – r’|次转移内求得。因为转移时修改组合数不太方便，所以我们考虑维护出平方和，最后把多的减掉。（代码中有解释）

我们考虑分块，将n个数分成sqrt(n)块。

按区间排序，以左端点所在块内为第一关键字，右端点为第二关键字，进行排序，也就是以(pos [l]，r)排序

然后按这个排序直接暴力，复杂度分析是这样的：

1、i与i+1在同一块内，r单调递增，所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。

2、i与i+1跨越一块，r最多变化n，由于有n^0.5块，所以这一部分时间复杂度是n^1.5

3、i与i+1在同一块内时l变化不超过n^0.5，跨越一块也不会超过n^0.5，忽略*2。由于有m次询问（和n同级），所以时间复杂度是n^1.5

于是就是O(n^1.5)了

很多人不理解看起来还是很暴力呀，为什么会快一些呢？我们感性地分析一下，如果是单纯的暴力，我们考虑用l排序，那么糟糕的就是虽然l的移动不会太多，但是r有可能反复地来回跑，eg：1 6, 2 1, 3 6, 4 1……这样就上升到平方级别了，我们采用分块的话，总的来讲思路是一样的，不过在同一个块中时，变成了r单调而l可能来回跑，但是跟上面情况不同的是，它来回跑的范围从n变成了sqrt(n)。

那么为什么分块要取sqrt(n)呢？我们容易发现，n太小的话，在同一块中被优化的部分就会变少，n太大的话，块的个数就多了，在同一块中l来回的距离就会变大，优化的力度就不够了。只有当取sqrt(n)时，块的个数与大小都是sqrt(n)，这样才是最优的。

代码如下：

/**************************************************************
Problem: 2038
User: onepointo
Language: C++
Result: Accepted
Time:1652 ms
Memory:2988 kb
****************************************************************/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 50010
#define LL long long

int n,m,pos
,col
;
LL cnt
,ans;
struct data
{
int l,r,id;
LL a,b;
}a
;

LL gcd(LL a,LL b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
LL sqr(LL x){return x*x;}
bool cmp(data a,data b){return pos[a.l]==pos[b.l]?a.r<b.r:a.l<b.l;}
bool recmp(data a,data b){return a.id<b.id;}

void update(int p,int add)
{
ans-=sqr(cnt[col[p]]);
cnt[col[p]]+=add;
ans+=sqr(cnt[col[p]]);
}
void solve()
{
for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++)
{
for(;r<a[i].r;r++) update(r+1,1);
for(;r>a[i].r;r--) update(r,-1);
for(;l<a[i].l;l++) update(l,-1);
for(;l>a[i].l;l--) update(l-1,1);
if(a[i].l==a[i].r)
{
a[i].a=0;a[i].b=1;
continue;
}
a[i].a=ans-(a[i].r-a[i].l+1);
a[i].b=(LL)(a[i].r-a[i].l+1)*(a[i].r-a[i].l);
LL k=gcd(a[i].a, a[i].b);
a[i].a/=k;a[i].b/=k;
}
}

int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&col[i]);
int block=(int)sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;++i) pos[i]=(i-1)/block+1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
a[i].id=i;
}
sort(a+1,a+m+1,cmp);
solve();
sort(a+1,a+m+1,recmp);
for(int i=1;i<=m;++i) printf("%lld/%lld\n",a[i].a,a[i].b);
return 0;
}