HDU6069 Counting Divisors 区间素数筛法

题目链接：HDU6069

题目大意：给你l,r,k，给你一个公式，如果最后结果很大，取模在输出。

代码参考：大佬的代码

思路：这题当时没想出来，结束之后对着大佬的代码看了蛮久终于有点明白了，原博主讲的蛮详细，我就写一下注释，方便大家理解。

1、首先需要知道一个结论，比如 100有多少个因子？最朴素的方法从1遍历到100 一直除对吧，现在我们稍微转换一下  100=10^2=(2*5)^2=2^2*5^2  这个时候100的因子就可以用 （2+1）*（2+1）=9 为什么能这样算呢？ 2的2次方，对5的2次方分别做乘法也就是  2^0 2^1 2^2 分别对 5^0 5^1 5^2 乘 ，就是3*3=9。这个应该非常好懂。所以我们求因子的个数就是把一个数分解成质因子的乘积的形式。那么我们怎么去求一个数的质因子呢？

2、一个定理：任何一个合数,只需要测试它的平方根以下的所有质数即可将这个数分解质因数. 

证明不会……从网上找了一段解释，方便理解。

任何一个数n,如果知道这个数有k个质因子,只需要测试它的k方根以下的所有质数即可将这个数分解质因数. 
现在将这个设为2个质因子... 
a*b = n 
若b>=a,则a<=sqrt(n). 为何? 简单不等式.  
a小于sqrt(n),测试小于sqrt(n)的所有整数也就可以测试n是否是质数. 
同理,可以扩展到k个质因子...应该不是很难想对不对? 
因为我们不知道这个数有多少个质因子...所以达到了sqrt(n)都没有发现任何质因子,说明n是质数... 
同样的方法也可以知道一个数字里面最多有多少个质因子. 
比如到了n^(1/k)都没有发现任何质因子,说明这个数最多也只能有k-1个质因子

AC代码：

/*
2017年8月4日15:11:54
HDU6069
AC
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>

typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const ll maxn=1e6+10;
int flag[maxn],cnt;
ll prime[maxn],f[maxn],num[maxn];
ll l,r,k;
//生成1e6以内所有素数
void isprime(){
memset(flag,0,sizeof(flag));
cnt=0;
flag[1]=1;
for(ll i=2;i<maxn;i++){
if(!flag[i]){
prime[cnt++]=i;
for(ll j=i*i;j<maxn;j+=i) flag[j]=1;
}
}
}

int main(){
isprime();
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%I64d%I64d%I64d",&l,&r,&k);
ll ans=0;
/*如果左端点是1，1的因子就是本身，所以ans=1，然后左端点右移一位l=2*/
if(l==1) ans=1,l=2;

ll t=r-l;
/*f[]数组代表l-r中的每一个数字，初始值设为其本身
num[i]数组代表l-r中第i个数字的所有因子，初始值设为1，*/
for(ll i=0;i<=t;i++) f[i]=l+i,num[i]=1;
/*遍历素数表[0-cnt)，并且要求prime[i]*prime[i]<=r*/
for(ll i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=r;i++){
ll temp=l;
/*如果temp小于第i个质数，那么就把temp赋值为该质数*/
if(temp%prime[i]) temp=(temp/prime[i]+1)*prime[i];
/*从该质数开始，把该区间所有这个质数的倍数分解成质因子的乘积形式*/
for(ll j=temp;j<=r;j+=prime[i]){
ll time=0;
/*如果能整除，证明该数是质因子的倍数，一直除到不能整除*/
while(f[j-l]%prime[i]==0){
time++;//记录该质因子的次数
f[j-l]/=prime[i];
}
//存储这个因子对num[]的贡献
num[j-l]=(num[j-l]*(time*k+1))%mod;
}
}
for(ll i=0;i<=t;i++){
//如果该数已经分解完 直接用num[i]
if(f[i]==1) ans=(ans+num[i])%mod;
//如果该数没有被分解，证明该数是大于1e6的在l-r区间的质数
//质因子就是他自己
else ans=(ans+(k+1)*num[i])%mod;
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}