最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
2017-08-04 10:16
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普里姆算法(Prim算法),加权连通图里搜索最小生成树,包括了连通图里的所有顶点,且其所有边的权值之和亦为最小.
Kruskal算法:
图例描述:
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015215729.jpg)
首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015234045.jpg)
将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015313195.jpg)
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015332154.jpg)
依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015361536.jpg)
下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右:
图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选(Vnew) |
---|---|---|---|---|
![]() | 此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
![]() | 顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
![]() | 下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9,距A为7,E为15,F为6。因此,F距D或A最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
![]() | 算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
![]() | 在当前情况下,可以在C、E与G间进行选择。C距B为8,E距B为7,G距F为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
![]() | 这里,可供选择的顶点只有C和G。C距E为5,G距E为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
![]() | 顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
![]() | 现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
Kruskal算法:
图例描述:
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015215729.jpg)
首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015234045.jpg)
将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015313195.jpg)
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015332154.jpg)
依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。
![](http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015361536.jpg)
下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右:
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