POJ1006算法解析

POJ1006

生理周期

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Description

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。

当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。

采用以下格式：

Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.

注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0

0 0 0 100

5 20 34 325

4 5 6 7

283 102 23 320

203 301 203 40

-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.

Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.

Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.

Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.

Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.

Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

整个题目的内核可以转化为在输入p,e,i,d的情况下，从以下的三个方程中解出最小的num

（d+num）%23=p；
（d+num）%28=e；
（d+num）%33=i；

《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

这个就是“中国剩余定理”。 其实题目的意思就是，n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少？

题目中涉及 3， 5，7三个互质的数.

令：5 * 7 * a % 3 = 1; ————–> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70；

3 * 7 * b % 5 = 1;  --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21；

3 * 5 * c % 7 = 1;  --------------> c  = 1; 即3 * 5 * 1 = 15；

为什么要使余数为1：是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以.

( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )

那么：要使得n % 3 = 2，那么（ 5 * 7 * 2 ）2 % 3 = 2；( 因为5 7 * 2 % 3 = 1 )

同理： 要使得n % 5 = 3，那么（ 3 * 7 * 1 ）3 % 5 = 3；( 因为3 7 * 1 % 5 = 1 )

同理：要使得n % 7 = 2，那么（ 3 * 5 * 1 ）* 2 % 7 = 2；( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )

在此基础上，将三个数相加得到的数也同时满足三个余数关系。

但此时得到的值并不是最小的，当这个值除三个被除数的积得到的余数，才为最小值。

33 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23；

23就是这么来的。

AC代码（C语言）

#include<stdio.h>

#define MAX 21252
#define A 5544
#define B 14421
#define C 1288
#define FALSE -1

int main()
{
int p, e, i, d, n;
int casenum = 0;

while( scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF )
{
casenum++;
if(p == FALSE && e == FALSE && i == FALSE && d == FALSE)
break;
n = ( A * p + B * e + C * i - d ) % MAX;
if( n <= 0 )
n += 21252;
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", casenum, n );
}
return 0;
}