解题报告：CodeForces - 662C:Binary Table FWT(快速沃尔什变换)

题目链接

题意：

给定一个至多20*100000的01矩阵，可以选择任意行或列，选择行或列的01值改变，问经过操作能到最少的含1的数量。

思路：

因为行最大为20，考虑将每一列压缩成一个20位的整数，选择的行也最多只有20，同样压缩到一个20位的整数。

改变行上的01值，对应的操作为异或，那么就能写出对应的卷积式：


根据异或运算的性质，可以交换j,k的位置，得到：


C[k] : 选择操作的行的集合为k的最少含1数量

A[i]： 列上数值为 i 的个数

B[j]： 数 j 的最少含1个数

这就是一个标准的可以用FWT进行加速的卷积运算了

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

void FWT(long long a[],int l,int on){
for(int d=1;d<l;d<<=1){
for(int m=d<<1,i=0;i<l;i+=m){
for(int j=0;j<d;j++){
long long x = a[i+j],y=a[i+j+d];
a[i+j]=x+y;
a[i+j+d]=x-y;
if(on<0){
a[i+j]>>=1;
a[i+j+d]>>=1;
}
}
}
}
}

int n,m;
char str[100005];
int A[100005];
long long num[1<<21];
long long B[1<<21];
long long C[1<<21];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
long long ans = n * m;
for(int i=1,x;i<=n;i++){
scanf("%s",str+1);
for(int j=1;j<=m;j++){
x = str[j]-'0';
A[j] = (A[j]<<1) + x ;
}
}for(int i=1;i<=m;i++){
num[A[i]]++;
}int l = (1<<n);
for(int i=0;i<l;i++){
B[i] = B[i>>1] + (i&1);
C[i] = min(B[i],n-B[i]);
}FWT(num,l,1);FWT(C,l,1);
for(int i=0;i<l;i++){
C[i] = C[i] * num[i];
}FWT(C,l,-1);
for(int i=0;i<l;i++){
ans = min(ans,C[i]);
}printf("%I64d\n",ans);
return 0;
}