欧几里得算法与扩展算法相关内容
2017-08-02 23:31
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欧几里得算法求最大公约数(辗转相除)
定理 gcd( m , n )=gcd ( n , m mod n ) ( m>n 且 m mod n 不为0)
最小公倍数记为lcm( m , n ),显然lcm( m , n )=m*n / gcd( m , n )
对于正整数k,有性质 lcm( km , kn)=k*gcd( m , n )
欧几里得算法
1 int gcd(int m,int n) //求m,n最大公约数 2 { 3 if(m<n) 4 gcd(n,m); 5 int r; 6 do{ 7 r=m%n; 8 m=n; 9 n=r; 10 }while(r); 11 return m; 12 }
欧几里得算法递归实现
1 int gcd(int m,int n) 2 { 3 if(n<m)gcd(n,m); 4 if(n==0)return m; 5 else return gcd(n,m%n); 6 }
由欧几里得算法得知 如果gcd( m , n )= 1,则m,n互素
扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法: 对于不完全为0的非负整数a,b,gcd(a,b)表示a,b的最大公约数d,则存在整数对x,y,使得gcd(a,b)=ax+by。
定理 :对于不定整数方程ax+by=c,若c mod gcd(a,b)=0(记为(a,b)|c,或d|c),则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
证明:设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
扩展欧几里得递归代码
1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) //&引用符号,修改x,y,函数返回的是a,b的最大公约数 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return a; 8 } 9 int r=exgcd(b,a%b,x,y); //递归下去 10 int temp=x; 11 x=y; 12 y=temp-a/b*y; 13 return r; 14 }
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