bzoj3505 [Cqoi2014]数三角形

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这道题是一道计数和数论结合的题目（小学数学奥林匹克）。

​ 先将n和m都+1，答案是n×m网格中任选三个点方案数-三点共线的情况。前者好算，

C(n*m,3)。

后者分成平行于网格线和斜着的两种情况，平行与网格线的易得

n*C(m,3)+m*C(n,3)

。

​ 问题的关键在于斜着的情况。假设网格中有两点A(x,y)，B(p,q)，那么这条线段上点的个数（除去端点）就是

gcd(|x-p|,|y-q|)-1

个点，每个点与端点结合都能产生一组三点共线，可以直接枚举x-p,y-q，然后乘以平移出来的个数即可，具体计算方法见代码。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL c (int n, int m) {
if (m > n) return 0; LL ret = 1;
for (int i = 0; i < m; ++ i) ret *= n-i;
for (int i = 1; i <= m; ++ i) ret /= i;
return ret;
}
int gcd (int a, int b) {return b? gcd (b, a%b): a;}
int main () {
int n, m; scanf ("%d%d", &n, &m);
++n; ++ m; LL ans = c (n*m, 3);
ans -= m*c (n, 3) + n*c (m, 3);
for (int i = 1; i < n; ++ i)
for (int j = 1; j < m; ++ j) {
int x = gcd (i, j);
ans -= 2*(n-i)*(m-j)*(x-1);
}
printf ("%lld\n", ans);
return 0;
}