[您有新的未分配科技点][BZOJ3545&BZOJ3551]克鲁斯卡尔重构树

这次我们来搞一个很新奇的知识点：克鲁斯卡尔重构树。它也是一种图，是克鲁斯卡尔算法求最小生成树的升级版首先看下面一个问题：BZOJ3545 Peaks。

在Bytemountains有N座山峰，每座山峰有他的高度h_i。有些山峰之间有双向道路相连，共M条路径，每条路径有一个困难值，这个值越大表示越难走。

现在有Q组询问，每组询问询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰，如果无解输出-1。N<=1e5,M,Q<=5*1e5

上面这个题没有要求在线，因此我们可以离线构造最小生成树，然后当小于等于一个询问的困难值的所有边都加入后，就可以查询当前的询问点。

这种操作只需要主席树上树+启发式合并就可以解决了。（参考资料：主席树上树http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7275164.html，启发式合并http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7275793.html）

但是如果强制在线呢？BZOJ3551 Peaks加强版，在上一题基础上强制在线。

可以用来解决一系列“查询从某个点出发经过边权不超过val的边所能到达的节点”的问题，可以和其他数据结构（比如主席树）套用来维护更加复杂的询问。

克鲁斯卡尔重构树的核心思想是，当添加最小生成树中的边的时候，不在两个点间直接加边，而是新建节点，让边的两个端点所在的联通块的代表点分别作为它的左右儿子节点，然后这个新建的点，就成为这整个连通块的代表点，点权为连边的值（最开始n个叶子节点点权为0）。比如看下面这张图：首先连接（1,2），新建一个点5。再连接（3,4），新建一个点6。然后连接（1,3），连接它们各自联通块的代表点（5,6），再新建一个点7。



这样得到的树有一个很优雅的性质：一个点的所有子树节点的权值都小于等于它的权值，并且从它开始逐渐向子节点移动，权值是单调不上升的。这个性质是显然的，因为我们在构造树的时候是从小到大插入的边，因此父亲节点的权值一定大于等于子节点的值。

查询时，首先可以在树上倍增得到当前查询点所能够到达的最远的祖先点，那么从这个点能够到达的符合边权限制条件的连通块中的节点，就是祖先点的子树中所有的叶节点。

然后我们按dfs序维护一个主席树上树就可以解决了。

代码见下：

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <ctime>
using namespace std;
const int N=100100;
int h[N*2],val[N*2],n,tot,num,cnt,stack
,e,adj[N*2];
int f[N*2][20],bin[25],fa[N*2],l[N*2],r[N*2];
struct edge{int qi,zhong,val;}intn[N*5];
struct link{int zhong,next;}s[N*2];
inline void mission1(int rt){for(int i=1;bin[i]<=n;i++)f[rt][i]=f[f[rt][i-1]][i-1];}
inline void add(int qi,int zhong){s[++e].zhong=zhong;s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;}
inline bool mt(const edge &a,const edge &b){return a.val<b.val;}
int find(int a){return (fa[a]==a)?a:fa[a]=find(fa[a]);}
struct node
{
int cnt;node *ch[2];
node(){cnt=0;ch[0]=ch[1]=NULL;}
inline void update(){cnt=ch[0]->cnt+ch[1]->cnt;}
}*null=new node(),*root[2*N];
inline node* newnode(){node *o=new node();o->ch[0]=o->ch[1]=null;return o;}
void insert(node *&o,node *old,int l,int r,int pos)
{
o->cnt=old->cnt+1;
if(l==r)return;
int mi=(l+r)>>1;
if(pos<=mi)o->ch[1]=old->ch[1],o->ch[0]=newnode(),insert(o->ch[0],old->ch[0],l,mi,pos);
else o->ch[0]=old->ch[0],o->ch[1]=newnode(),insert(o->ch[1],old->ch[1],mi+1,r,pos);
o->update();
}
inline int query(int a,int x,int k)
{
int le=1,ri=tot;
for(int j=18;~j;j--)
　　　　if(f[a][j]&&val[f[a][j]]<=x)a=f[a][j];
node *a1=root[r[a]],*a2=root[l[a]-1];
if(a1->cnt-a2->cnt<k)return -1;
while(le<ri)
{
int tmp=a1->ch[1]->cnt-a2->ch[1]->cnt,mi=(le+ri)>>1;
if(tmp>=k)a1=a1->ch[1],a2=a2->ch[1],le=mi+1;
else a1=a1->ch[0],a2=a2->ch[0],k-=tmp,ri=mi;
}
return stack[ri];
}
void dfs(int rt)
{
mission1(rt);l[rt]=++num;
if(rt<=n)insert(root[num],root[num-1],1,tot,h[rt]);
else root[num]=root[num-1];
for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)dfs(s[i].zhong);
r[rt]=num;
}
int main()
{
int m,q,ans=0,v,x,k;scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
bin[0]=1;for(int i=1;i<=22;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
null->ch[0]=null->ch[1]=null;
for(int i=1;i<=n*2;i++)fa[i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&h[i]),stack[i]=h[i];
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&intn[i].qi,&intn[i].zhong,&intn[i].val);
sort(stack+1,stack+n+1);
tot=unique(stack+1,stack+n+1)-stack-1;
for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=lower_bound(stack+1,stack+tot+1,h[i])-stack;
sort(intn+1,intn+m+1,mt);cnt=n;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=find(intn[i].qi),v=find(intn[i].zhong);
if(u!=v)
{
val[++cnt]=intn[i].val,fa[u]=fa[v]=cnt;
add(cnt,u),add(cnt,v),f[u][0]=f[v][0]=cnt;
if(cnt-n==n-1)break;
}
}
for(int i=0;i<=cnt;i++)root[i]=newnode();
for(int i=1;i<=cnt;i++)if(!l[i])dfs(find(i));
while(q--)
{
scanf("%d%d%d",&v,&x,&k);
if(ans!=-1)v^=ans,x^=ans,k^=ans;/*去掉这句强制在线可以ACbzoj3545*/
printf("%d\n",ans=query(v,x,k));
}
}

克鲁斯卡尔重构树是个比较小众的知识点，但在处理对口的操作时十分强大。下次你再看到类似询问的时候，不妨想一想克鲁斯卡尔重构树，也许就会柳暗花明又一村:)