《挑战程序设计竞赛中》所讲的超大背包问题

问题描述：有重量和价值分别为 w i ,v i 的 n 个物品。从这些物品中挑选总重量不超过 W 的物品,求所有

挑选方案中价值总和的最大值。其中W的可能非常大。

解题思路：这个也是背包问题，不过这次价值和重量都可以是非常大的数值,相比之下n比较小。使用DP求解背包问题的复杂度是O(nW),因此不能用来解决这里的问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他办法。挑选物品的方法总共有2 n 种,所以不能直接枚举,但是像前面一样拆成两半之后再枚举的话,因为每部分只有20个所以是可行的。利用拆成两半后的两部分的价值和重量,我们能求出原先的问题吗?我们把前半部分中的选取方法对应的重量和价值总和记为w1、 v1。这样在后半部分寻找总重w2≤Ww1时使v2最大的选取方法就好了。因此,我们要思考从枚举得到的(w2,v2)的集合中高效寻找max{v2|w2≤W ‘}的方法。首先,显

然我们可以排除所有w2[i]≤w2[j]并且v2[i]≥v2[j]的j。这一点可以按照w2、v2的字典序排序后简单做到。此后剩余的元素都满足w2[i]

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAX_N = 40;
int n;
ll w[MAX_N];
ll v[MAX_N];
ll W;
pair<ll,ll> ps[1 << (MAX_N / 2)];
pair<ll,ll> make_pair(ll w,ll v){
pair<ll,ll> p;
p.first = 2;
p.second = v;
return p;
}
void solve(){
// 枚举前半部分
int n2 = n / 2;
for (int i = 0; i < 1 << n2; i++) {
ll sw = 0, sv = 0;
for (int j = 0; j < n2; j++) {
if (i >> j & 1) {
sw += w[j];
sv += v[j];
}
}
ps[i] = make_pair(sw, sv);
// 去除多余的元素
sort(ps, ps + (1 << n2));
int m = 1;
for (int i = 1; i < 1 << n2; i++) {
if (ps[m - 1].second < ps[i].second) {
ps[m++] = ps[i];
}
}
// 枚举后半部分并求解
ll res = 0;
for (int i = 0; i < 1 << (n - n2); i++) {
ll sw = 0, sv = 0;
for (int j = 0; j < n - n2; j++) {
if (i >> j & 1) {
sw += w[n2 + j];
sv += v[n2 + j];
}
}
if (sw <= W) {
ll tv = (lower_bound(ps, ps + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;
res = max(res, sv + tv);
}
}
printf("%lld\n", res);
}