LightOj1356-Prime Independence

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A set of integers is called prime independent if none of its member is a prime multiple of another member. An integer a is said to be a prime multiple of b if,

a = b x k (where k is a prime [1])

So, 6 is a prime multiple of 2, but 8 is not. And for example, {2, 8, 17} is prime independent but {2, 8, 16} or {3, 6} are not.

Now, given a set of distinct positive integers, calculate the largest prime independent subset.

Input
Input starts with an integer T (≤ 20), denoting the number of test cases.

Each case starts with an integer N (1 ≤ N ≤ 40000) denoting the size of the set. Next line contains N integers separated by a single space. Each of these N integers are distinct and between 1 and 500000 inclusive.

Output
For each case, print the case number and the size of the largest prime independent subset.

Sample Input
3

5

2 4 8 16 32

5

2 3 4 6 9

3

1 2 3

Sample Output
Case 1: 3

Case 2: 3

Case 3: 2

Hint
1.      An integer is said to be a prime if it's divisible by exactly two distinct integers. First few prime numbers are 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

2.      Dataset is huge, use faster I/O methods.

题目大意;

定义一个集合为prime independent，在这个集合中满足：a=p*b(p是素数)，其中a和b不能同时在该集合中。在给定的一个序列中找出最大满足上述条件的集合。

题解：

可以这样想：在序列中如果满足a=p*b切a,b都存在的话就对a和b建一条边。这样的话就是求在这个序列中有多少互相独立的点。可以联想到最大独立集的问题。然而最大独立集是利用二分图求的（当然可以用网络流）。现在是怎么建一个二分图。可以看出在建a和b的边的时候a和b的关系。b的素因子个数等于a的素因子个数+1，也就是说只要连边的两个数的素因子个数的奇偶性就不同，那么现在按着每个数的素因子个数的奇偶划分出二分图，然后在求最大独立集=总个数-最大匹配。

求二分图的最大匹配问题的算法个人只会匈牙利算法O（nm）的时间复杂度。显然在这个题是行不通的。听说

Hopcroft-Karp算法
可以是O(nm^0.5)的时间。学习关于二分图的知识讲解可以点击：http://dsqiu.iteye.com/blog/1689505

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int MAXN=550000;
int mark[MAXN],odd[MAXN],A[MAXN],even[MAXN],used[MAXN];
struct node
{
int u,v;
int nex;
} eage[300000];
int head[60000],cnt,n,m;
void init()
{
cnt=m=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(mark,0,sizeof(mark));
memset(even,0,sizeof(even));
}
void ADD(int u,int v)
{
eage[cnt].u=u;
eage[cnt].v=v;
eage[cnt].nex=head[u];
head[u]=cnt++;
}
const int INF = 1<<28;
int um[MAXN],vm[MAXN];
int dx[MAXN],dy[MAXN],dis;
bool vis[MAXN];

bool searchP()
{
queue<int>q;
dis=INF;
memset(dx,-1,sizeof(dx));
memset(dy,-1,sizeof(dy));
for(int i=1;i<=m;i++)
if(um[odd[i]]==-1)
{
q.push(odd[i]);
dx[odd[i]]=0;
}
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
if(dx[u]>dis)  break;
for(int i=head[u];i!=-1;i=eage[i].nex)
{
int v =eage[i].v;
if(dy[v]==-1)
{
dy[v]=dx[u]+1;
if(vm[v]==-1)  dis=dy[v];
else
{
dx[vm[v]]=dy[v]+1;
q.push(vm[v]);
}
}
}
}
return dis!=INF;
}
bool dfs(int u)
{
for(int i=head[u];i!=-1;i=eage[i].nex)
{
int v = eage[i].v;
if(!vis[v]&&dy[v]==dx[u]+1)
{
vis[v]=1;
if(vm[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue;
if(vm[v]==-1||dfs(vm[v]))
{
vm[v]=u;um[u]=v;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int maxMatch()
{
int res=0;
memset(um,-1,sizeof(um));
memset(vm,-1,sizeof(vm));
while(searchP())
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=m;i++)
if(um[odd[i]]==-1&&dfs(odd[i]))  res++;
}
return res;
}

void work()
{
init();
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%d",&A[i]),mark[A[i]]=i;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int temp=A[i],num=0;
for(int j=2; j<=sqrt(temp+0.5); j++)
{
if(temp%j==0)
{
int k=A[i]/j;
if(mark[k])
{
ADD(i,mark[k]);
ADD(mark[k],i);
}
while(temp%j==0)
{
num++;
temp=temp/j;
}
}
}
if(temp>1)
{
int k=A[i]/temp;
if(mark[k])
{
ADD(i,mark[k]);
ADD(mark[k],i);
}
num++;
}
if(num&1)odd[++m]=i;
}
cout<<n-maxMatch() <<endl;
}
int main()
{
int T,w=0;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
printf("Case %d: ",++w);
work();
}
return 0;
}