四元数与欧拉角（roll,pitch,yaw）的转换

在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：



定义

分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan
angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。

一、四元数的定义

通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：



其中

是绕旋转轴旋转的角度，

为旋转轴在x,y,z方向的分量（由此确定了旋转轴）。

利用欧拉角也可以实现一个物体在空间的旋转，它按照既定的顺序，如依次绕z,y,x分别旋转一个固定角度，使用roll,yaw
,pitch分别表示物体绕,x,y,z的旋转角度，记为

，可以利用三个四元数依次表示这三次旋转，即：

二、欧拉角到四元数的转换

三、四元数到欧拉角的转换

 
arctan和arcsin的结果是

，这并不能覆盖所有朝向(对于

角

的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。

四、在其他坐标系下使用

在其他坐标系下，需根据坐标轴的定义，调整一下以上公式。如在Direct3D中，笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴，Y轴变为X轴，Z轴变为Y轴（无需考虑方向）。

五、示例代码

 http://www.cppblog.com/Files/heath/Euler2Quaternion.rar

Demo渲染两个模型，左边使用欧拉角，右边使用四元数，方向键Up、Left、Right旋转模型。

六、参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles
http://baike.baidu.com/link?url=NA09CdOpOe2uHUsSaj3w9Io2YD1MLK3ir4OFD25XxttgyMoMTcyvcfXh8K6pJNfptQYo6hQ2CMWmu-zxAeZnFq