最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)
2017-08-02 01:11
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最小生成树:
一个有n个结点的连通图的生成树,是原图的极小连通子图,包含原图放入所有结点,并且保持图连通的最小的边。求最小生成树可以用Kruskal(克鲁斯卡尔)算法和Prim(普里姆)算法求出。Kruskal算法:
具体思路:是将每条边上的权进行排序,之后在从中选取最小的边,加入最小树的集合中。注意:在以上的过程中得防止出现环路。可以用并查集维护。
以下图为例:
首先,建图,用一个结构体数组:
struct node{ int x; //起点 int y; //终点 int w; //权重 }graph[100];
之后,用并查集判断是否会产生环路:
int point[100]; //用来标记结点 for(int i=1;i<=n;i++){ point[i]=i; //先将每个结点的根节点都设为自己 }
/*查找*/ int find(int n){ if(n==point ) return n;//返回结点的根节点 find(point ); }
/*合并*/ for(int i=1;i<=m;i++){ int fx = find(graph[i].x); //查找根节点 int fy = find(graph[i].y); //查找根节点 //若这条边的起点和终点相同,说明形成环路 if(fy!=fx){ point[fy] = fx; //不相等,则合并(纳入最小树的集合) } }
完整代码:
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int M =100; int n; //结点数 int m; //边数 int point[M]; //并查集 //图的结构体数组 struct node{ int x; //起点 int y; //终点 int w; //权重 }graph[M]; //并查集:查找 int find(int x){ if(point[x]==x) return x; return find(point[x]); } int cmp(node a,node b){ return a.w<b.w; } int main(){ int sum; while(cin>>n>>m){ for(int i=1;i<=n;i++){ point[i] = i; } // 建图 for(int i=1;i<=m;i++){ cin>>graph[i].x>>graph[i].y>>graph[i].w; } // 按照边上的权重大小排序 sort(graph+1,graph+m+1,cmp); sum = 0; for(int i=1;i<=m;i++){ int fx = find(graph[i].x); //集合的顶点 int fy = find(graph[i].y); //集合的顶点 //判断是否形成环路 if(fy!=fx){ sum+=graph[i].w; point[fy] = fx; //纳入集合 } } cout<<sum<<endl; //输出最小连通图的权值的和 } return 0; }
Prim算法
对于Prim算法,相对于Kruskal算法而言,Prim算法,适用于稠密图,即:边比较少的图。也就是说Kruskal算法比较适用于稀疏图。具体思路:以图中的任意一个结点作为起点,逐个找到各个结点的最小权值的边(当前局部最小,达到整体最小)。来构建最小生成树。
首先,建图:
/*用一个二维数组cost[][],建图*/ for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++){ int x,y,len; cin>>x>>y>>len; cost[x][y] = len; cost[y][x] = len; } }
核心代码:
int Prim(int m){ in 4000 t sum=0,k,min; for(int i=0;i<n;i++){ dist[i] = cost[m][i]; } dist[m]=0; for(int i=1;i<n;i++){ sum = 0,min = MAX; for(int j=0;j<n;j++){ if(dist[j]&&dist[j]<min){ min = dist[j]; k = j; } } sum += min; dist[k] = 0; for(int j=0;j<n;j++){ if(dist[j]&&dist[j]>cost[k][j]){ dist[j] = cost[k][j]; } } } return sum; }
完整代码:
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int M=100; const int MAX = 1<<30; int cost[M][M]; int dist[M]; //用来记录当前所在结点,到其他结点的边上的权值 int n; //结点数 int m; //边数 int Prim(int m){ int i,j,k,min,sum = 0; //初始化dist[]中的值,即:与m结点相连接的边上的权值 for(i=0;i<n;i++){ dist[i] = cost[m][i]; } dist[m] = 0; //标记 //第一个结点,不做处理 for(i=1;i<n;i++){ min = MAX; //找到dist[]中最小的值 for(j=0;j<n;j++){ if(dist[j]!=0&&dist[j]<min){ min = dist[j]; k = j;//记录下当前结点的位置 } } sum +=min; dist[k] = 0; //第k个结点取过了,标记为0 //更新dist[],中的值,即:与k结点相连接的边的权值 for(j=0;j<n;j++){ if(dist[j]!=0&&dist[j]>cost[k][j]){ dist[j] = cost[k][j]; } } } return sum; //返回最小连通图的边上的权值总和 } int main() { while(cin>>n>>m){ for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++){ cost[i][j] = MAX; } } for(int i=0;i<m;i++){ int x,y,len; cin>>x>>y>>len; cost[x][y]=len; cost[y][x]=len; } //这里以v0为起点 cout<<Prim(0)<<endl; } }
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