多校联合第三次题解(网页打不好开，扒下来看)

1001

考虑容斥,枚举哪些限制强制不满足,把n减去这些不满足限制的和,然后计算组合数. 注意到组合数有点难算,注意到可以把组合数看成一个mm阶多项式,

就可以把问题转换成对每一个1≤k≤m1≤k≤m计算kk次方的和.

如果c=1,可以数位dp,把每一位的贡献dp进去计算.如果c≠1,需要预先枚举有几个限制不满足,

然后再数位dp.注意到可以把随意选择的位的dp结果预处理好来进行加速.时间复杂度O(m4)O(m​4​​).

1002

我们知道，对于任意两个数a,ba,b，我们有：a and b=(a or b)−(a xor b)

我们枚举x=a or bx=aorb，y=a xor by=axorb，显然要求的条件是x and y=yxandy=y

之后可以计算满足以上条件的(a,b)(a,b)有2bit(y)2​bit(y)​​个

于是可以将式子重写成：

C[k]=∑x∑y[x and y=y]∗[x−y=k]∗B[x]∗A[y]∗2bit(y)C[k]=∑​x​​∑​y​​[xandy=y]∗[x−y=k]∗B[x]∗A[y]∗2​bit(y)​​

C[k]=∑x∑y[x and y=y]∗[x xor y=k]∗B[x]∗A[y]∗2bit(y)C[k]=∑​x​​∑​y​​[xandy=y]∗[xxory=k]∗B[x]∗A[y]∗2​bit(y)​​

C[k]=∑x xor y=k[x and y=y]B[x]∗A[y]∗2bit(y)C[k]=∑​xxory=k​​[xandy=y]B[x]∗A[y]∗2​bit(y)​​

C[k]=∑x xor y=k[bit(x)−bit(y)=bit(k)]B[x]∗A[y]∗2bit(y)C[k]=∑​xxory=k​​[bit(x)−bit(y)=bit(k)]B[x]∗A[y]∗2​bit(y)​​

用元素为多项式的FWT计算即可

时间复杂度：O(2m∗m2)O(2​m​​∗m​2​​)

1003

我们只要求出对于一个数x左边最近的k个比他大的和右边最近k个比他大的，扫一下就可以知道有几个区间的k大值是x.

我们考虑从小到大枚举x，每次维护一个链表，链表里只有>=x的数，那么往左往右找只要暴力跳k次，删除也是O(1)的。

时间复杂度：O(nk)

1004

若Ai xor Aj<Aj xor AkA​i​​xorA​j​​<A​j​​xorA​k​​，考虑AiA​i​​和AkA​k​​不同的位中最高的，根据这一位的值可以知道AjA​j​​这一位的值必须是多少。

用一个字母树存下所有A_kA​k​​，询问A_iA​i​​时爬一下即可，顺便记录下中间有几个满足条件的A_jA​j​​。

时间复杂度：O(nlogAi)O(nlogA​i​​)

1005

把1看成整棵树的根.问题相当于把2∼n每个点一个[1,k]的标号.然后根据最小斯坦纳树的定义,(x,fax)

这条边的贡献是x子树内不同标号的个数目difi​​.那么显然有difi≤min(k,szi),szi​​表示子树大小.

可以通过构造让所有difi​​都取到最大值.所以答案就是∑nx=2w[x][fax]∗min(szx,k)时间复杂度O(n).

1006

问题相当于展开f(x−∑ai)f(x−∑a​i​​)。

我们可以把每一项用二项式定理展开，然后可以发现这是可以用FFTFFT优化的。

时间复杂度：O(nlogn)

1007

建一个extrabitalways1他的值永远是1.如何判断xi=1x​i​​=1?新建一个extrabitis[i][1],初值为0,来存结果,构造gate:ialways1is[i][1].如何判断xi=0x​i​​=0?新建一个extrabitis[i][0],初值为1,来存结果,构造gate:is[i][1]always1is[i][0].构造一个Trie.每个节点t新建一个extrabitact[t],并且构造gate:act[fa[t]]is[dep[t]][dir]act[t]其中dir表示方向,如果t是左儿子就是0，否则就是1.这样对于一组输入,恰好有一片叶子的act是1,对每片答案为1的叶子构造gate:act[t]always1outputbit.可以通过设定outputbit的初值来减少对叶子的判断.gate和extrabit个数大约在2m+1+2m2​m+1​​+2​m​​左右.

1008

注意到一个数字xx必然会被唯一表示成a2×ba​2​​×b的形式.其中|μ(b)|=1∣μ(b)∣=1。所以这个式子会把[1,nk][1,n​k​​]的每个整数恰好算一次.所以答案就是nkn​k​​,快速幂即可.时间复杂度O(logk)O(logk).

1009

注意到计算的是欧拉回路.把BEST′sTHEOREM稍加修改可以得到答案.Trees×deg[1]!×∏mi=2(deg[i]−1)!∏mi=1∏mj=11Di,j!Trees×deg[1]!×∏​i=2​m​​(deg[i]−1)!∏​i=1​m​​∏​j=1​m​​​D​i,j​​!​​1​​TreesTrees表示1为根的生成树个数,用基尔霍夫矩阵计算就行了.时间复杂度O(m3)O(m​3​​).

1010

用f[i][j]f[i][j]表示p[1:i]p[1:i]分成jj段的最小代价.显然可以写出一个O(n2k)O(n​2​​k)的dpdp.考虑用cdq分治优化dp，考虑用f[l][j−1]⋯f[md][j−1]f[l][j−1]⋯f[md][j−1]来影响f[md+1][j]⋯f[r][j]f[md+1][j]⋯f[r][j]处理出AxA​x​​表示[x,md][x,md]的lca,BxB​x​​表示[md+1,x][md+1,x]的lca.转移的时候计算lca(A[i],B[j])就行了.考虑枚举每一个[md+1,r]的t.注意到转移分成两段,一段后缀满足lca是lca(B[t],p[md]),剩下的一段前缀lca是A[i],前后缀的分界线可以单调移动得到.然后分两段分别转移就好了,通过预处理前后缀最小值来O(1)O(1)转移.时间复杂度O(nklogn)O(nklogn)

1011

一个签到题，目的在于吐槽浙江的高温