博弈论——威佐夫博弈

威佐夫博弈（Wythoff Game）：

有两堆各若干个石头，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的石头，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

我们假设两堆石头的状态为 (a,b)，表示第一堆剩下a个石子，第二堆剩下b个石子。当然这两堆是没有差别的，第一堆a个第二堆b个和第一堆b个第二堆a个是没有区别的。再假设两个人为A和B，A先取。

我们试想一下：如果A遇到两堆石头的状态为(0,0)是不是就代表着输了？我们称这种状态为奇异状态，也叫失败态。接下来的失败态为(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)……也就是说谁遇到这个状态谁就意味着失败。

为什么称这些状态为失败态呢？？比如(1,2)这一状态，A如果遇到此状态，它有三种取法：

(1).取第一堆一个石子或第二堆两个石子，则状态变为(0,2)或(1,0)，那么B直接取第二堆两个石子或第一堆一个石子，取完状态变为(0,0)，则A输。

(2).取第二堆一个石子，则状态变为(1,1)，那么B同时从两堆中取一个石子，取完状态变为(0,0)，则A输。

(3).同时从两堆中取一个，则状态变为(0,1)，那么B从第二堆取一个，取完状态变为(0,0)，则A输。

所以A遇到(1,2)，最后一定会转变为A遇到(0,0)，同理其他奇异态都是如此。

我们用 a[i] 表示失败态中的第一堆的个数，用 b[i] 来表示失败态中的第二堆的个数，可以发现如下规律b[i]=a[i]+i（i从0开始），并且 a[i] 是前面的失败态中没有出现过的最小整数。

所有综上所述，失败态有三个基本的结论：

每个数字只存在一个失败态中

每个失败态都能转变为非失败态

每个非失败态也能转变为失败态

因为每个数都一定出现在一个失败态中，所以一个状态(a,b)，要么a=a[i]，要么b=b[i]。所以分以下两种情况进行讨论：

(1).当a=a[i]。

如果b==a时，则一次取完变为(0,0)；如果b>b[i]，那么从第二堆取走b−b[i]个石子，状态就变成了(a[i],b[i])。比如(3,7)，从第二堆取走2个石子，就变成了(3,5)；如果b<b[i]，那么从两堆中同时取走 a−a[b−a[i]] 个石子就变成了 (a[b−a[i]],b−a[i]+a[b−a[i]])。比如(3,4)，同时从两堆中取走2个石子就变成(1,2)。

(2).当b=b[i]。

如果 a>a[i]，那么从第一堆取走 a−a[i]个石子，状态变为 (a[i],b[i])；如果 a<a[i]，又分为两种情况：1).a==a[k](k<i)，那么就从第二堆中取走 b−b[k]个石子，状态就变成了 (a[k],b[k])；2). a==b[k]，这样只需从第二堆取走 b−a[k]个石子，状态就变成了(b[k],a[k])，然而两堆没有什么区别，所以等价于 (a[k],b[k])。

如何判断一个状态是否为失败态呢？知道这个我们就知道谁一定会输了，因为只要判断一个状态为失败态，先取的人一定会输。

用下面的公式进行判断：

a[i]=⌊i∗(1+5√)/2⌋； b[i]=a[i]+i；

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
int a,b;
int k;
while(scanf("%d%d", &a, &b)!=EOF)
{
if(a > b)   swap(a, b);
k = floor((b-a)*(1+sqrt(5.0))/2.0);
if(k == a) printf("Lose\n");//为奇异状态
else printf("Win\n");
}
return 0;
}