最大公约数和最小公倍数

描述
小明被一个问题给难住了，现在需要你帮帮忙。问题是：给出两个正整数，求出它们的最大公约数和最小公倍数。
输入
第一行输入一个整数n（0<n<=10000)，表示有n组测试数据;
随后的n行输入两个整数i,j（0<i,j<=32767)。
输出
输出每组测试数据的最大公约数和最小公倍数
样例输入
3
6 6
12 11
33 22
样例输出
6 6
1 132
11 66
方法一：自己纯（蠢）写，好笨！

import jav
4000
a.io.*;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
Scanner in=new Scanner(System.in);
int k=in.nextInt();
while((int) k-->0){
int m=in.nextInt();
int n=in.nextInt();
int maxDiv=1,minMul=1;
for (int i = 1; i<=Math.min(m, n); i++) {
if(m%n==0){
maxDiv=n;break;}
if(n%m==0){
maxDiv=m;break;}
if(n%i==0&&m%i==0){
if(maxDiv<i)
maxDiv=i;
}
}
System.out.print(maxDiv+" ");
for (int i = Math.max(m, n); i<=m*n; i++) {
if(m%n==0){
minMul=m;break;}
if(n%m==0){
minMul=n;break;}
if(i%m==0&&i%n==0){
minMul=i;
break;
}
}
System.out.print(minMul);
System.out.println();
}

}

}

反思：如果两个数本身可以相除，那么被除数就是最小公倍数，除数就是最大公约数，所以先进行一个小小的判断，因为公约数求最大的，所以要一直求解到两个数里面最小的那一个，而公倍数要最小的，所以只要从两个数里面最大的开始找起，知道找到一个即满足！
方法j二：其实求出最大公约数之后，直接m*n/c即可，这里我借鉴别人的辗转相除法来求解最大公约数

package MainTest;
import java.util.Scanner;
public class Main {
//辗转相除法
static int zxc(int m,int n){
if(m%n==0)
return n;
else
return zxc(n,m%n);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner in=new Scanner(System.in);
int k=in.nextInt();
while((int) k-->0){
int m=in.nextInt();
int n=in.nextInt();
int maxDiv=1,minMul=1;
maxDiv=zxc(m,n);
System.out.print(maxDiv+" ");
minMul=m*n/maxDiv;
System.out.print(minMul);
System.out.println();
}

}

}

​来源

设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下:用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b;若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为(a，b)。

折叠编辑本段原理

设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步:令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步:根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步:可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

折叠辑算法

自然语言描述


输出b

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的:

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 b。

另一种写法是:

1. a ÷ b，令r为所得余数(0≤r<b)

若 r = 0，算法结束;b 即为答案。

2. 互换:置 a←b，b←r，并返回第