欧拉函数+矩阵快速幂 Password

  

问题 A: Password

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题目描述

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E = {E[1],E[2],……,E
}，
且E[1] = E[2] = p（p为一个质数），E[i] = E[i-2]*E[i-1] （若2<i<=n）。

例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p = 2的数列。在此基础上他又设计了一种加密算法，该算法可以通过一个密钥q (q < p)将一个正整数n加密成另外一个正整数d，计算公式为：d = E
mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密，但他对程序设计不太感兴趣，请你帮助他设计一个数据加密程序。

输入

第一行读入m，p。其中m表示数据个数，p用来生成数列E。 以下有m行，每行有2个整数n，q。n为待加密数据，q为密钥。 数据范围: 0 < p n< 2^31 0 < q < p 0 < m <= 5000。

输出

将加密后的数据按顺序输出到文件 第i行输出第i个加密后的数据。 输入样例1 2 7 4 5 4 6 输入样例2 4 7 2 4 7 1 6 5 9 3

样例输入

输入样例1
2 7
4 5
4 6
输入样例2
4 7
2 4
7 1
6 5
9 3

样例输出

输出样例1
3
1

输出样例2
3
0
1
1

p的多少次幂显然是一个斐波那契数列，考虑用矩阵快速幂，但会炸ll，

欧拉函数扩展  p^phi(q)%q=1，这样，求出phi(q)，乘的时候%一下。

求出p^f
后，再用普通快速幂求出ans即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll m,p,n,q,pp,inf=(1<<31)-1,phi[46400],mark[46400],tot,prime[40000];
ll k;
struct node
{
ll f[2][2];
node(){
memset(f,0,sizeof(f));
}
} a,b;
ll read()
{
ll sum=0,f=1;char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9'){if(x=='-')f=-1;x=getchar();}
while(x>='0'&&x<='9')sum=sum*10+x-'0',x=getchar();
return sum*f;
}
void get_phi()
{
phi[1]=1;
for(ll i=2;i<=sqrt(inf);i++)
{
if(!mark[i])
{
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=tot;j++)
{
if(i*prime[j]>sqrt(inf))break;
mark[i*prime[j]]=1;
if(!(i%prime[j]))
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
ll pphi(ll x)
{
ll t=x;
for(ll i=1;prime[i]*prime[i]<=t;i++)
if(!(x%prime[i]))
{
t=t-t/prime[i];
while(!(x%prime[i]))
x/=prime[i];
}
if(x>1)
t=t-t/x;
return t;
}
node cheng(node a,node b)
{
node c;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
{
for(int l=0;l<2;l++)
{
c.f[i][j]+=a.f[i][l]*b.f[l][j];
c.f[i][j]%=k;
}
}
return c;
}
int main()
{
//freopen("password.in","r",stdin);
//freopen("password.out","w",stdout);
m=read();p=read();
get_phi();
while(m--)
{
n=read();q=read();pp=p;
if(q>sqrt(inf)) k=pphi(q);
else  k=phi[q];

a.f[0][0]=0;a.f[1][0]=1;a.f[1][1]=0;a.f[0][1]=0;
b.f[0][0]=1;b.f[0][1]=1;b.f[1][0]=1;b.f[1][1]=0;
node s;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
s.f[i][j]=(i==j);
while(n)
{
if(n&1)s=cheng(b,s);
b=cheng(b,b);
n/=2;
}
s=cheng(s,a);
n=s.f[0][0];
ll ans=1;
while(n)
{
if(n&1)ans=(ans*pp)%q;
pp=(pp*pp)%q;
n/=2;
}
printf("%lld\n",ans%q);
}
}