数论-Lucas（卢卡斯定理）

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。

对于C(n, m) mod p。这里的n，m，p（p为素数）都很大的情况。就不能再用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。

应用：大组合数求模

表达式C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
求C(n, m) mod 10007

/*int Lucas (ll n , ll m , int p) 
{
  return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p,m/p,p)%p ;
}*/
//comb()函数中，因为q ， r < p , 所以这部分暴力完成即可。
//C++求C(n, m) mod 10007    版本二 要求p z在100000左右
ll f
;
void init(int p) 
{       //f
 = n!
    f[0] = 1;
    for (int i=1; i<=p; ++i) f[i] = f[i-1] * i % p;
} 
ll pow_mod(ll a, ll x, int p)
{
    ll ret = 1;
    while (x)
        {
        if (x & 1)  ret = ret * a % p;
        a = a * a % p;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
  
ll Lucas(ll n, ll k, int p)        //C (n, k) % p
{
     ll ret = 1;
     while (n && k) 
        {
        ll nn = n % p, kk = k % p;
        if (nn < kk) return 0;  //inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % p
        ret = ret * f[nn] * pow_mod (f[kk] * f[nn-kk] % p, p - 2, p) % p;
        n /= p, k /= p;
     }
     return ret;
}
int main(void)
{
    init (p);
    printf ("%I64d\n", Lucas (n, m, p));
    return 0;
}

也可以采用下面的方法，先把mod的阶乘存起来：

void init(int mod){ //对mod取余后，一定小于mod，因此把mod的阶乘存起来就够用
f[0] = 1;
for(int i = 1 ; i <= mod ;i ++ ){
f[i] = f[i-1] * i % mod;
}
}

void ex_gcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y)
{
if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
else{ ex_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

LL inv(LL a,LL m) //欧几里得逆元，也可以费马小定理
{
LL d, x, y;
ex_gcd(a, m, d, x, y);
return d == 1 ? (x+m)%m : -1;
}

LL Lucas(LL m , LL n , LL p){
LL res = 1;
while(n && m){
LL n1 = n % p ;
LL m1 = m % p ;
res = res * f[n1] * inv(f[n1-m1],p) * inv(f[m1],p)%p;
n /= p;
m /= p;
}
return ( res % p + p ) % p;
}