BZOJ 3670 浅谈KMP算法的拓展应用

世界真的很大

KMP处理字符串的匹配问题是非常熟悉的

KMP算法很独特的地方在于其失配指针，nxt数组，这个在其他字符串处理算法中也有应用

深刻理解nxt数组的实际意义对题目有时会有很大帮助

nxt数组不光是失配位置而已

这道题好写好调

看题先：

description：

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。
某天，园长给动物们讲解KMP算法。
园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串S的前i 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”
园长：“非常好！那你能举个例子吗？”
熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。
下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num 数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num 数组呢？
特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007 取模的结果即可。

input

第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

output

包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

首先题目化简：

给定一个长为L的字符串，求一个num数组，num[i]表示长度为i的前缀中字符串S’的数量，其中S‘既是该前缀的前缀也是该前缀的后缀，且|S’|*2<=i。为了方便输出，只用输出(num[i]+1)的乘积。

求得每一个前缀中满足条件的S’的数量，这个S’的条件是，S’既是整个字符串的前缀，又是当前前缀的后缀，就是说，字符串的当前位置，往前数S’个字符，和开头的S’个字符是一样的

这恰恰是nxt指针的实际意义，nxt[i]表示i往前数多少位和开头的多少位是一样的，也就是如果从i这个位置失配了，可以从哪里开始继续匹配

但是nxt[i]表示的是往前数的最长的长度，也就是失配时重新开始匹配的最远位置，而并不是“可以从多少个地方开始匹配”，而这个才是题目要求的NUM数组

现在开始重新分析这个num数组的性质，假设在i位置失配了，跳到nxt[i]的位置，那么1到nxt[i]，i-nxt[i]到i，这两段就是完全一样的，nxt[i]位置往前数有多少个和开头的多少个是一样的，那么i往前数就有多少个和开头的多少个是一样的，这个值就是nxt[nxt[i]]

明朗了，对于一个i，一直往前跳nxt，能跳多少次，就是有多少不同的S’，这个可以当成KMP的一个性质来记

并且要使得S’ < i/2，记录次数，就是num数组

但是我们不可能对于每一个i都往前一直跳，这样的复杂度是O（n^2)的

考虑记录一个cnt数组，cnt[i]表示从i开始往前跳，还能跳多少次，这样就可以大大减少时间了，而这个预处理可以在求nxt数组时顺便完成，接下来再跑一遍就行了

完整代码：

#include<stdio.h>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long dnt;

const dnt mod=1e9+7;

int m,T,nxt[1000010];
dnt ans=1,cnt[1000010];
char ss[1000010];

void init()
{
ans=1;
memset(nxt,0,sizeof(nxt));
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
}

void calnxt(int flag)
{
int i=0,j=-1;
nxt[0]=-1;
while(i<m)
{
if(j==-1 || ss[i]==ss[j])
{
i++,j++;
if(flag)
{
while(j!=-1 && j*2>i)
j=nxt[j];
if(j!=-1 && i!=-1) ans=(ans*(cnt[j]+1))%mod;
}
else
{
cnt[i]=cnt[j]+1;
nxt[i]=j;
}
}
else
j=nxt[j];
}
}

int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
init();
scanf("%s",ss);
m=strlen(ss);
calnxt(0);
ans=1;
calnxt(1);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
/*
Whoso pulleth out this sword from this stone and anvil is duly born King of all England
*/

嗯，就是这样