最大网络流

问题定义

流网络

图G=(V,E)：有向图、连通图

容量：每条边(u, v)∈G有非负的容量值c(u, v)，表示该边的流量最大值

反平行边：两条边的起点和终点相反，(u, v)和(v, u)是反平行

图中不允许有反平行边，也就是有边(u, v)，则不存在反方向的边(v, u)

图中不允许自循环

图中有两个点源结点s和汇点t。源结点是网络流的起点，汇点是流的终点

G中流

一个实值函数f：V x V -> R，两个点间的流量

性质1——容量限制：每条边上的流不超过容量。对于所有结点u, v∈V，要求0≤f(u, v)≤c(u, v)

性质2——流量守恒：除了源结点和汇点，每个点的流入量=流出量

最大流问题

给定一个流网络G、一个源结点s、一个汇点t，找到值最大的一个流

定义：出发点为源点，接受流量 的汇聚点为汇点，边上的权值为可以流过的最大值

几个关键定义

残存网络Gf：由仍可以对流量进行增加/减少的边构成（流过的量不超过容量的边），包含原图中的边，以及可能包含对应的反向边

残存容量cf：一条边还可以增加的最大流量（原图上各边的容量c，可以看作是初始的残存容量）



由cf再定义一次Gf：cf>0的边

为什么要在Gf中加反向边？

通过增加反向边，让我们可以撤销原来的流量操作。为什么要撤销呢？

来自《数据结构与算法分析》上的一个例子

原图	流图（原图上的流）	残余网络	说明
			残余网络中没有增加反向边 s->t没有新的可达路径 算法结束，但没有达到目的 （得到最大流）
原来的网络流图 0/5表示边的容量为5	图中每条边上流量的一个状态 选择一条可达路径s-a-d-t 发送流量=3到这条路径上		增加了反向边， s->t存在新的可达路径 把原来s-a-d-t的流撤销一部分 被撤销的部分可以分流到其它路径

增广路径：给定流网络G=(V, E)，增广路径是残存网络中一条从源结点到汇点的简单路径（没有分支）

流网络的切割

流网络G=(V, E)的一个切割就是将结点集合划分成两个集合S和T（T=V-S）

切割(S, T)的容量：集合S中每个点到集合T中每个点的容量之和



最小切割：网络中容量最小的切割

最大流最小切割定理

设f为流网络G=(V, E)中的一个流，该流网络的源结点为s，汇点为t，则下面的条件等价：

f是G的一个最大流

残存网络Gf不包括任何增广路径

|f|=c(S, T) 流网络中任意流都不能超过任意切割的容量

利用这几个等价条件，可以作为解最大流的思路

Ford-Fulkerson方法

基本步骤

找到一条增广路径p

找到p中各边的最小残存容量cf(p)

更新路径上每条边的信息

直到没有任何增广路径

图中边的结构：边的起始点和终点，残存容量，标识是在原图还是新增的反向边，流量

整理了一下概念，接下来找找例子再补一下

怎么查找增广路径？

参考

1. 《算法导论》原书第3版

2. 《数据算法与算法分析——C语言描述》原书第2版