税收问题的分析：已知税后收入求税前、年终奖"一元陷阱"的分析

早上家里来了个客人，聊天中得知了他的税后收入于是蛮好奇他的税前收入是多少。

顺便开了一下脑洞，想证明一下当前年终奖税收模型下，是否存在合理的税率及税收安排，使得"一元陷阱"得以避免。

>已知税后收入求税前

我们假设一个税收表：



对于这个税收表，我们可以列一个分段函数用于计算已知税前收入求税后收入的表格（其意义等价于计算快速计算数，但快速计算数这种反减的算法不是太符合我的脑回路）：



其中，对于一般情况，关于y=f(x)有:

f(x)=y=w(x-a)+tp {x属于[a,b)}
f(x)的值域为[tb,tp)
税率taxP=(1-w)

观察到f(x)虽然是分段函数，但它依旧是一个单射函数，求其逆函数，即可返求税前工资。

没啥难度，编程即可解决。其通用抽象模型我再想想，应该也可以用几个简单的数组结构完成，代码以后再说。

还是说说比较有趣的"一元陷阱问题"吧。

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>"一元陷阱"

问题的提出：18001比18000的年终奖，需要多缴纳多少钱？

要求出这个问题得解，需要知道现行的税收年终奖计税模型是怎样运作的。

官方说明：

（1）个人取得全年一次性奖金且获取奖金当月个人的工资薪金所得高于（或等于）税法规定的费用扣除额的，用全年一次性奖金总额除以12个月，按其商数对照工薪所得项目税率表，确定适用税率和对应的速算扣除数，计算缴纳个人所得税。（2）如果全年一次性奖金当月工资薪金所得低于规定的费用扣除额，用全年一次性奖金减去“个人当月工薪与费用扣除额的差”后的余额除以12个月，按其商数确定适用税率和对应的速算扣除数，计算缴纳个人所得税。

其实这一大堆特绕口，都不用看，只需要知道具体过程就行了：

假设发了年终奖x元，那么将x/12，把这个值代入到税率表中去查相应的税档（比如我上面的第二个表），然后把x的全值带进去算就好了。



那么经过计算，可以知道，多发了一元的年终奖，就要多交纳1155￥。

在数学上，涉及到分段函数的级跃，以及边际税率的概念。这些我们都不用管，通俗点来说，这个计税模型坑爹的地方在于：虽然计税档次改成了x/12，但是相应的计税快速扣除数并没有得到相应的12倍调整。

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不去管税务部门为什么这么设定这个模型，总之我们先来证明一下现行模型下，有没有办法找到一种合理的税率和区间，使得"一元陷阱"可以避免。

取x为年终奖奖金数，借用上表2的式子,可推得：



且有：



其中，n为某人假设可以多获得的年终奖金额，在现行年终奖计税模型下，要避免”一元陷阱”，就要保证多取得n的奖金后，税后收入所得比起之前税后收入所得要大于等于n的值，所以：

命题：欲找到一种设置税率的值，使得②-①>=n，需满足：



观察到，欲证明⑤式对任意g均成立，这是一个数学归纳法，其首项⑥必定应先成立。

对于n无关,显然此时税率,即税收为0%，在常理上不成立，因此，找不到一个合理的g，即税率安排，使得在当前年终奖税收模型下，避免类似的”一元陷阱”。