二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。

二分图：简单来说，假设图中点能够被分为两组。而且使得全部边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U和V 。使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。

假设存在这种划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，当中随意两条边都没有公共顶点。

比如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边。它们的含义很显然。比如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其它顶点为未匹配点。1-5、4-7为匹配边，其它边为非匹配边。

最大匹配：一个图全部匹配中。所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

图 4 是一个最大匹配，它包括 4 条匹配边。

完美匹配：假设一个图的某个匹配中。全部的顶点都是匹配点。那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。

显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的不论什么一个点都已经匹配，加入一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并不是每一个图都存在完美匹配。

举例来说：例如以下图所看到的。假设在某一对男孩和女孩之间存在相连的边。就意味着他们彼此喜欢。

是否可能让全部男孩和女孩两两配对。使得每对儿都互相喜欢呢？图论中。这就是完美匹配问题。

假设换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩能够配对儿？这就是最大匹配问题。

基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，以下讲的概念都为这个算法服务。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，假设途径还有一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。

比如，图 5 中的一条增广路如图 6 所看到的（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。

因此。研究增广路的意义是改进匹配。仅仅要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换就可以。因为中间的匹配节点不存在其它相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们能够通过不停地找增广路来添加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时。达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本号的代码之前，先讲一下匈牙利树。

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发执行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。比如。由图 7，能够得到如图 8 的一棵 BFS 树：

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），可是匈牙利树要求全部叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。假设原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。

这样的情况如图 9 所看到的（顺便说一句。图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

以下给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本号的代码：

// 顶点、边的编号均从 0 開始
// 邻接表储存
struct Edge
{
int from;
int to;
int weight;

Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};
vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
vector<Edge> edges;
typedef vector<int>::iterator iterator_t;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;
int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
int check[__maxNodes];

bool dfs(int u)
{
for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每一个邻接点
int v = edges[*i].to;
if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
check[v] = true; // 放入交替路
if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
// 假设是未盖点。说明交替路为增广路。则交换路径，并返回成功
matching[v] = u;
matching[u] = v;
return true;
}
}
}
return false; // 不存在增广路。返回失败
}
int hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
for (int u=0; u < num_left; ++u) {
if (matching[u] == -1) {
memset(check, 0, sizeof(check));
if (dfs(u))
++ans;
}
}
return ans;
}

queue<int> Q;
int prev[__maxNodes];
int Hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
memset(check, -1, sizeof(check));
for (int i=0; i<num_left; ++i) {
if (matching[i] == -1) {
while (!Q.empty()) Q.pop();
Q.push(i);
prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
bool flag = false; // 尚未找到增广路
while (!Q.empty() && !flag) {
int u = Q.front();
for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
int v = edges[*ix].to;
if (check[v] != i) {
check[v] = i;
Q.push(matching[v]);
if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
prev[matching[v]] = u;
} else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
flag = true;
int d=u, e=v;
while (d != -1) {
int t = matching[d];
matching[d] = e;
matching[e] = d;
d = prev[d];
e = t;
}
}
}
}
Q.pop();
}
if (matching[i] != -1) ++ans;
}
}
return ans;
}

匈牙利算法的要点例如以下

1. 从左边第 1 个顶点開始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。

   假设经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息。匹配边数 +1，停止搜索。

2. 假设一直没有找到增广路，则不再从这个点開始搜索。其实。此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们能够永久性地把它从图中删去，而不影响结果。

prev

两个版本号的时间复杂度均为O(V⋅E)。DFS 的长处是思路清晰、代码量少，可是性能不如 BFS。我測试了两种算法的性能。

对于稀疏图。BFS 版本号明显快于 DFS 版本号；而对于稠密图两者则不相上下。在全然随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者率先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者率先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅率先 0.85%。

补充定义和定理：

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目

最小点覆盖数：选取最少的点，使随意一条边至少有一个端点被选择

最大独立数：选取最多的点，使随意所选两点均不相连

最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图）。选取最少条路径。使得每一个顶点属于且仅属于一条路径。路径长能够为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数